Verifique se os vetores v1=(1,0,1) e v2=(0,1,1) e v3=(-1,1,0) geram o R^3. Caso não gerem, obtenha o subespaço gerado por estes vetores.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
,v1=(1,0,1), ,v2=(0,1,1) e ,v3=(-1,1,0) geram R^3.
Esse é um problema de Álgebra Linear sobre combinação linear e dimensão de subespaços. Vamos primeiro checar dependência linear e, se não gerarem R^3, descrever o subespaço que eles formam.

Passo 2

Para verificar dependência, vemos se algum dos vetores é combinação linear dos outros. Observe que
v2 - v1 ;=;(0,,1,,1);-;(1,,0,,1);=;(-1,,1,,0);=;v3
Logo v3=v2-v1, o que mostra que os três vetores são linearmente dependentes e não podem gerar R^3.

Passo 3

Como v1,v2,v3 é dependente, basta considerar v1,v2. Qualquer combinação linear de v1 e v2 é
alpha,v1 + beta,v2 = alpha,(1,0,1) + beta,(0,1,1) = (alpha,;beta,;alpha+beta)
Portanto, o subespaço gerado é o conjunto de todos os vetores (x,y,z) tais que z=x+y.

Resposta

Os vetores não geram R^3.
O subespaço gerado por v1,v2,v3 é
(x,y,z)inR^3mid z = x + y

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