^ a Questão. (50 pontos) Admita que a quantidade Q(t) de C^14 obedece a equação diferencial Q^prime=-k Q.
a) Determinar Q(t) sabendo que a meia vida do C^14 é de 5570 anos.
b) Um osso de um animal pré-histórico apresenta 1 / 10 da quantidade de C^14 de um osso atual. Quando morreu este animal?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial do decaimento radioativo de ^14C,
Q'(t) = -k,Q(t),
onde Q(t) é a quantidade de ^14C num instante t e k>0 é a constante de decaimento. Precisamos (a) resolver essa EDO para obter Q(t) em função de k e da condição inicial Q(0), usando a meia‐vida dada, e depois (b) usar o fato de que um osso pré-histórico tem 1/10 da quantidade atual para determinar o tempo t desde a morte do animal.

Passo 2

Para resolver
Q'(t) = -k,Q(t)
usamos separação de variáveis. Escrevemos
Q'(t)Q(t) = -k
e integramos ambos os lados em relação a t:
integral Q'(t)Q(t),dt = integral -k,dt Longrightarrow lnl|Q(t)r| = -k,t + C
Exponenciando, obtemos
Q(t) = C1,e^-k,t
Usamos a condição inicial Q(0)=Q0 para achar C1=Q0. Logo
Q(t) = Q0,e^-k,t

Passo 3

A meia‐vida T1/2 é o tempo em que a quantidade cai à metade:
Q(T1/2) = tfrac12,Q0 Longrightarrow Q0,e^-k,T1/2 = tfrac12,Q0 Longrightarrow e^-k,T1/2 = tfrac12
Tomando logaritmo natural,
-k,T1/2 = lnl(tfrac12r) = -ln 2 Longrightarrow k = ln 2T1/2
Como T1/2=5570 anos, temos
k = ln 25570

Passo 4

Substituindo k na solução geral, obtemos a lei de decaimento:
Q(t) = Q0,exp!l(-ln 25570,tr) = Q0,2^-t/5570

Passo 5

Para o osso pré-histórico sabe‐se que
Q(t)Q0 = 110 Longrightarrow 2^-t/5570 = 110
Tomando logaritmo natural,
-t5570,ln 2 = lnl(10^-1r) = -ln 10 Longrightarrow t = 5570ln 2,ln 10
Numericamente,
t approx 55700,6931times 2,3026 approx 1,85times 10^4 anos

Resposta

(a) Q(t)=Q0,e^-(ln 2/5570),t=Q0,2^-t/5570
(b) O animal morreu há aproximadamente 1,85times10^4 anos.

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