Questão. (50 pontos) Admita que a quantidade de obedece a equação diferencial .
a) Determinar sabendo que a meia vida do é de 5570 anos.
b) Um osso de um animal pré-histórico apresenta da quantidade de de um osso atual. Quando morreu este animal?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial do decaimento radioativo de ,
onde é a quantidade de num instante e é a constante de decaimento. Precisamos (a) resolver essa EDO para obter em função de e da condição inicial , usando a meia‐vida dada, e depois (b) usar o fato de que um osso pré-histórico tem da quantidade atual para determinar o tempo desde a morte do animal.
Passo 2
Para resolver
usamos separação de variáveis. Escrevemos
e integramos ambos os lados em relação a :
Exponenciando, obtemos
Q(t) = C1,e^-k,t
Usamos a condição inicial Q(0)=Q0 para achar C1=Q0. Logo
Q(t) = Q0,e^-k,t
Passo 3
A meia‐vida T1/2 é o tempo em que a quantidade cai à metade: