Nos Exercícios 13-17, determine, se houver, as condições que as constantes devem satisfazer para garantir a consistência do sistema linear dado.
17. Considere as matrizes
Passo 1
O enunciado pede as condições sobre o vetor de constantes b=(b1,b2,b3)^T
para que o sistema linear
seja consistente. O conteúdo utilizado será a relação entre determinante, posto da matriz e consistência de sistemas lineares.
Passo 2
Calculamos o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =22 & -21 & 1 -12 & -23 & 1 +22 & 23 & 1
Agora cada 2times 2:
2 & -21 & 1=2cdot1-(-2)cdot1=4,
2 & -23 & 1=2cdot1-(-2)cdot3=2+6=8,
2 & 23 & 1=2cdot1-2cdot3=2-6=-4
Logo,
det(A)=2cdot4-1cdot8+2cdot(-4)=8-8-8=-8neq0
Passo 3
Como det(A)neq0, a matriz A é invertível e seu posto é rank(A)=3. Num sistema Ax=b, a consistência exige rank(A)=rank([Amidb]). Mas, como A já tem posto máximo 3, qualquer vetor binR^3 faz com que o posto da matriz aumentada também seja 3.
Passo 4
Portanto, não há restrição sobre os componentes b1,b2,b3. Para todo binR^3, o sistema é consistente e possui solução única.
Resposta
O sistema é consistente para qualquer vetor binR^3.