Nos Exercícios 13-17, determine, se houver, as condições que as constantes b devem satisfazer para garantir a consistência do sistema linear dado.
17. Considere as matrizes
A=[rrr 2 & 1 & 2 2 & 2 & -2 3 & 1 & 1 ] e x=[l x1 x2 x3 ]

Passo 1

O enunciado pede as condições sobre o vetor de constantes
b=(b1,b2,b3)^T
para que o sistema linear
A,x=b,
com
A= 2 & 1 & 2 2 & 2 & -2 3 & 1 & 1 , x=(x1,x2,x3)^T,
seja consistente. O conteúdo utilizado será a relação entre determinante, posto da matriz e consistência de sistemas lineares.

Passo 2

Calculamos o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =22 & -21 & 1 -12 & -23 & 1 +22 & 23 & 1
Agora cada 2times 2:
2 & -21 & 1=2cdot1-(-2)cdot1=4,
2 & -23 & 1=2cdot1-(-2)cdot3=2+6=8,
2 & 23 & 1=2cdot1-2cdot3=2-6=-4
Logo,
det(A)=2cdot4-1cdot8+2cdot(-4)=8-8-8=-8neq0

Passo 3

Como det(A)neq0, a matriz A é invertível e seu posto é
rank(A)=3. Num sistema Ax=b, a consistência exige
rank(A)=rank([Amidb]). Mas, como A já tem posto máximo 3, qualquer vetor binR^3 faz com que o posto da matriz aumentada também seja 3.

Passo 4

Portanto, não há restrição sobre os componentes b1,b2,b3. Para todo
binR^3, o sistema é consistente e possui solução única.

Resposta

O sistema é consistente para qualquer vetor binR^3.

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