Wronskiano. Para duas funções diferenciáveis
e
quaisquer, a função (18)
é chamada de wronskiana
de
e
. Essa função desempenha papel essencial na prova do Teorema 2. (a) Mostre que
pode ser convenientemente expresso como o determinante
(b) Considere que
y1(t), y2(t) seja um par de soluções para a equação homogênea
a y^prime prime+b y^prime+c y=0(com a neq 0) em um intervalo aberto
I . Prove que
y1(t) e
y2(t) são linearmente independentes em
I se e somente se seu wronskiano nunca for zero em I. [Dica: esta é apenas uma reformulação do Lema 1.]
© Mostre que, se
y1(t) e
y2(t) forem duas funções diferenciáveis quaisquer que são linearmente dependentes de
I , então seu wronskiano é identicamente zero em
I .
© Mostre que, se
Passo 1
Estamos lidando com o wronskiano de duas funções diferenciáveis e queremos: (a) mostrar que ele é o determinante 2×2 adequado, (b) provar para soluções de uma EDO linear homogênea de 2º ordem a equivalência entre independência linear e wronskiano não nulo, e © mostrar que dependência linear implica wronskiano identicamente zero.
Passo 2
Para (a), lembramos que o determinante de uma matriz 2×2
é dado por
ad - bc . Basta identificar na matriz
o elemento
a=y1(t) ,
b=y2(t) ,
c=y1'(t) ,
d=y2'(t) . Logo o determinante é
que é exatamente
W[y1,y2](t) .
Passo 3
Para (b), usamos a identidade de Abel para a EDO
Mostra-se que o wronskiano satisfaz
Resolvendo essa EDO de 1ª ordem temos
Dessa forma ou
W(t)equiv0 para todo
t , ou
W(t)neq0 em
I . Pelo Lema 1, isso é equivalente a dizer que
y1,y2 são linearmente independentes em
I se e somente se
W(t) nunca zera.
Passo 4
Para ©, suponha que
y1,y2 sejam linearmente dependentes em
I . Então existe constante
k tal que
y1 = k,y2 em
I . Derivando,
y1' = k,y2' . Logo
em todo
I , ou seja, o wronskiano é identicamente zero.
Resposta
(a) Mostramos que o determinante 2×2 de
y1 & y2y1' & y2' é
y1y2'-y1'y2 , que coincide com a definição de
W[y1,y2] .
(b) Pela identidade de Abel, para a EDOa y''+b y'+c y=0 temos
W' + (b/a)W = 0 , cujo valor geral é
W(t)=W(t0)e^-integral(b/a) . Assim ou
Wequiv0 ou nunca se anula, e isso equivale exatamente à independência linear de
y1,y2 em
I .
© Sey1 e
y2 são linearmente dependentes, existe
k com
y1=k y2 e
y1'=k y2' , levando a
W=0 em todo
I .
(b) Pela identidade de Abel, para a EDO
© Se