Wronskiano. Para duas funções diferenciáveis y1 e y2 quaisquer, a função (18) W[y1, y2](t)=y1(t) y2^prime(t)-y1^prime(t) y2(t) é chamada de wronskiana ^dag>=r de y1 e y2. Essa função desempenha papel essencial na prova do Teorema 2. (a) Mostre que W[y1, y2] pode ser convenientemente expresso como o determinante 2 times 2 W[y1, y2](t)=|ll y1(t) & y2(t) y1^prime(t) & y2^prime(t) | (b) Considere que y1(t), y2(t) seja um par de soluções para a equação homogênea a y^prime prime+b y^prime+c y=0(com a neq 0) em um intervalo aberto I. Prove que y1(t) e y2(t) são linearmente independentes em I se e somente se seu wronskiano nunca for zero em I. [Dica: esta é apenas uma reformulação do Lema 1.]
© Mostre que, se y1(t) e y2(t) forem duas funções diferenciáveis quaisquer que são linearmente dependentes de I, então seu wronskiano é identicamente zero em I.

Passo 1

Estamos lidando com o wronskiano de duas funções diferenciáveis e queremos: (a) mostrar que ele é o determinante 2×2 adequado, (b) provar para soluções de uma EDO linear homogênea de 2º ordem a equivalência entre independência linear e wronskiano não nulo, e © mostrar que dependência linear implica wronskiano identicamente zero.

Passo 2

Para (a), lembramos que o determinante de uma matriz 2×2
a & b c & d
é dado por ad - bc. Basta identificar na matriz
y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t)
o elemento a=y1(t), b=y2(t), c=y1'(t), d=y2'(t). Logo o determinante é
y1(t)y2'(t) - y1'(t)y2(t)
que é exatamente W[y1,y2](t).

Passo 3

Para (b), usamos a identidade de Abel para a EDO
a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = 0, a(t)neq0
Mostra-se que o wronskiano satisfaz
W' + baW = 0
Resolvendo essa EDO de 1ª ordem temos
W(t) = W(t0)expl(-integralt0^t b(s)a(s),dsr)
Dessa forma ou W(t)equiv0 para todo t, ou W(t)neq0 em I. Pelo Lema 1, isso é equivalente a dizer que y1,y2 são linearmente independentes em I se e somente se W(t) nunca zera.

Passo 4

Para ©, suponha que y1,y2 sejam linearmente dependentes em I. Então existe constante k tal que y1 = k,y2 em I. Derivando, y1' = k,y2'. Logo
W = y1y2' - y1'y2 = k,y2,y2' - k,y2',y2 = 0
em todo I, ou seja, o wronskiano é identicamente zero.

Resposta

(a) Mostramos que o determinante 2×2 de y1 & y2y1' & y2' é y1y2'-y1'y2, que coincide com a definição de W[y1,y2].
(b) Pela identidade de Abel, para a EDO a y''+b y'+c y=0 temos W' + (b/a)W = 0, cujo valor geral é W(t)=W(t0)e^-integral(b/a). Assim ou Wequiv0 ou nunca se anula, e isso equivale exatamente à independência linear de y1,y2 em I.
© Se y1 e y2 são linearmente dependentes, existe k com y1=k y2 e y1'=k y2', levando a W=0 em todo I.

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