Nos Exercicios de 13 a 20, mostre que o valor da integral de linha
para os dados
e
é independente do caminho
calcule a integral.
; C é o arco da parábola
, do vértice ao ponto de intersecção entre a parábola e a corda que passa pelo foco e é paralela à diretriz, no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
com
e sendo o arco da parábola
do vértice
até o ponto de intersecção com a corda que passa pelo foco e é paralela à diretriz. Na parábola
o foco é
e a diretriz
, logo essa corda é
. Intersectando, vem
, no 1º quadrante
, de modo que o ponto final é
. Como o domínio é todo
, basta mostrar que
é conservativo e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
com
e
Passo 2
Verificamos se
é conservativo, checando
como
em
,
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
:
Portanto
Passo 4
Como
vai de
a
, pela independência de caminho
Passo 5
Calculamos
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