Nos Exercicios de 13 a 20, mostre que o valor da integral de linha integralC F cdot d R para os dados F e C é independente do caminho e calcule a integral.
F(x, y)=(4 e^2 x-3 e^x e^y) i+(2 e^2 y-3 e^x e^y) j; C é o arco da parábola y^2=4 x, do vértice ao ponto de intersecção entre a parábola e a corda que passa pelo foco e é paralela à diretriz, no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dR
com
F(x,y)=l(4e^2x-3e^x+y,;2e^2y-3e^x+yr)
e C sendo o arco da parábola y^2=4x do vértice (0,0) até o ponto de intersecção com a corda que passa pelo foco e é paralela à diretriz. Na parábola y^2=4x o foco é (1,0) e a diretriz x=-1, logo essa corda é x=1. Intersectando, vem y^2=4cdot1, no 1º quadrante y=2, de modo que o ponto final é (1,2). Como o domínio é todo R^2, basta mostrar que F é conservativo e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo, checando
P(x,y)=4e^2x-3e^x+y, Q(x,y)=2e^2y-3e^x+y,
partial Ppartial y=-3e^x+y, partial Qpartial x=-3e^x+y,
como partial P/partial y=partial Q/partial x em R^2, F é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que nabla f=F. Integramos P em x:
f(x,y)=integrall(4e^2x-3e^x+yr),dx =2e^2x-3e^x+y+h(y)
Derivando em y e igualando a Q:
partial fpartial y=-3e^x+y+h'(y) overset!=2e^2y-3e^x+y ;Rightarrow;h'(y)=2e^2y;Rightarrow;h(y)=e^2y
Portanto
f(x,y)=2e^2x-3e^x+y+e^2y

Passo 4

Como C vai de (0,0) a (1,2), pela independência de caminho
integralCFcdot dR =f(1,2)-f(0,0)

Passo 5

Calculamos
f(1,2)=2e^2-3e^3+e^4, f(0,0)=2-3+1=0,
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integralCFcdot dR=2e^2-3e^3+e^4

Resposta

2e^2 - 3e^3 + e^4

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