Nos Exercicios de 13 a 20, mostre que o valor da integral de linha integralC F cdot d R para os dados F e C é independente do caminho e calcule a integral.
F(x, y)=e^x cos y i-e^x sen y j; C é o segmento de reta 3 x+4 y=12, do ponto onde ela intercepta o eixo y ao ponto onde ela intercepta o eixo x.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y)=e^xcos y,i-e^xsin y,j
e a curva C é o segmento da reta 3x+4y=12 que vai do ponto onde intercepta o eixo y ao ponto onde intercepta o eixo x. Precisamos mostrar que
integralCFcdot dR
é independente do caminho e então calcular esse valor.

Passo 2

Para verificar se F é conservativo (e portanto integral independente do caminho num domínio convexo), escrevemos P(x,y)=e^xcos y e Q(x,y)=-e^xsin y e comparamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^xcos yr) =-e^xsin y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(-e^xsin yr) =-e^xsin y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, F é conservativo em R^2.

Passo 3

Como F é conservativo, existe potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=P=e^xcos y, partial phipartial y=Q=-e^xsin y
Integramos em x:
phi(x,y) =integral e^xcos y,dx =e^xcos y + h(y)
Agora derivamos em y e igualamos a Q:
partial phipartial y =-e^xsin y + h'(y) stackrel!=-e^xsin y Longrightarrow h'(y)=0
Logo h(y) é constante e podemos escolher
phi(x,y)=e^xcos y

Passo 4

A reta 3x+4y=12 intercepta o eixo y em x=0, logo em (0,3), e intercepta o eixo x em y=0, logo em (4,0). Portanto o caminho vai de A=(0,3) a B=(4,0).

Passo 5

Pela propriedade de campos conservativos,
integralCFcdot dR =phil(Br)-phil(Ar) =phi(4,0)-phi(0,3)
Calculando:
phi(4,0)=e^4cos(0)=e^4, phi(0,3)=e^0cos(3)=cos(3)
Logo
integralCFcdot dR =e^4-cos(3)

Resposta

integralCFcdot dR=e^4-cos(3)

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