Nos Exercicios de 13 a 20, mostre que o valor da integral de linha
para os dados
e
é independente do caminho
calcule a integral.
;
é o segmento de reta
, do ponto onde ela intercepta o eixo
ao ponto onde ela intercepta o eixo
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
e a curva
é o segmento da reta
que vai do ponto onde intercepta o eixo
ao ponto onde intercepta o eixo
. Precisamos mostrar que
é independente do caminho e então calcular esse valor.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo (e portanto integral independente do caminho num domínio convexo), escrevemos
e
e comparamos
Como
,
é conservativo em
.
Passo 3
Como
é conservativo, existe potencial
tal que
Integramos em
:
Agora derivamos em
e igualamos a
:
Logo
é constante e podemos escolher
Passo 4
A reta
intercepta o eixo
em
, logo em
, e intercepta o eixo
em
, logo em
. Portanto o caminho vai de
a
.
Passo 5
Pela propriedade de campos conservativos,
Calculando:
Logo