Nos Exercicios de 13 a 20, mostre que o valor da integral de linha
para os dados
e
é independente do caminho
calcule a integral.
j;
é o arco do primeiro quadrante da circunferência
, do ponto sobre o eixo
ao ponto sobre o eixo
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva é o arco no primeiro quadrante da circunferência
, indo de
até
.
O conteúdo é teste de campo conservativo e teorema fundamental das integrais de linha; vamos mostrar que é conservativo e, em seguida, usar a função potencial para calcular
.
e a curva
O conteúdo é teste de campo conservativo e teorema fundamental das integrais de linha; vamos mostrar que
Passo 2
Denotando
e
, calculamos as derivadas parciais
Como
em todo o primeiro quadrante (região simplesmente conexa), concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma potencial
tal que
Integrando em
, obtemos
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
e impomos que isso seja igual a
. Logo
Podemos tomar
pois só interessa diferença de
.
Passo 5
A função potencial é
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Calculamos
logo