Nos Exercicios de 13 a 20, mostre que o valor da integral de linha integralC F cdot d R para os dados F e C é independente do caminho e calcule a integral.
F(x, y)=2(x-y) i+2(3 y-x) j; C é o arco do primeiro quadrante da circunferência x^2+y^2=9, do ponto sobre o eixo x ao ponto sobre o eixo y.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=2(x-y),i+2(3y-x),j
e a curva C é o arco no primeiro quadrante da circunferência x^2+y^2=9, indo de (3,0) até (0,3).
O conteúdo é teste de campo conservativo e teorema fundamental das integrais de linha; vamos mostrar que F é conservativo e, em seguida, usar a função potencial para calcular
integralCFcdot dR.

Passo 2

Denotando P(x,y)=2(x-y) e Q(x,y)=2(3y-x), calculamos as derivadas parciais
partial Ppartial y=-2, partial Qpartial x=-2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo o primeiro quadrante (região simplesmente conexa), concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x=P(x,y)=2(x-y)
Integrando em x, obtemos
f(x,y)=integral 2(x-y),dx = x^2-2xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial fpartial y=-2x + h'(y)
e impomos que isso seja igual a Q(x,y)=2(3y-x)=-2x+6y. Logo
h'(y)=6y Longrightarrow h(y)=3y^2 + C
Podemos tomar C=0 pois só interessa diferença de f.

Passo 5

A função potencial é
f(x,y)=x^2-2xy+3y^2
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dR =fl(0,3r)-fl(3,0r)
Calculamos
f(0,3)=0-0+3cdot3^2=27, f(3,0)=3^2-0+0=9,
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integralCFcdot dR=27-9=18

Resposta

18

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