(2
Questão - 1,5 ponto)
Determine o trabalho
realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre um arco da cicloide
.
Determine o trabalho
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para calcular o trabalho
realizado por um campo de força
ao mover um objeto ao longo de um arco de cicloide definido pela função paramétrica
, onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de trabalho em campos vetoriais, que envolve integrar o produto escalar do campo de força pela derivada da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da trajetória
em relação a
, que é
. Vamos derivar cada componente:
Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, substituímos a trajetória
na função do campo de força
:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 4
O trabalho
é dado pela integral do produto escalar do campo de força pela derivada da trajetória:
Vamos calcular esse produto escalar:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Podemos reorganizar os termos:
Cancelando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, a integral para o trabalho fica:
Vamos separar a integral:
Passo 7
Calculando as integrais separadamente:
- Primeira integral:
A segunda parte requer integração por partes:
Portanto:
Avaliando de
a
:
- Segunda integral:
Avaliando de
a
:
Passo 8
Somando tudo:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
.