(2 ^ a Questão - 1,5 ponto)
Determine o trabalho W=integralC F cdot d r realizado pelo campo de força F(x, y)=x i+(y+2) j para movimentar um objeto sobre um arco da cicloide r(t)=(t-sen t) i+(1-cos t) j, 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para calcular o trabalho W realizado por um campo de força F(x, y) = x,i + (y+2),j ao mover um objeto ao longo de um arco de cicloide definido pela função paramétrica r(t) = (t - sin t),i + (1 - cos t),j , onde t varia de 0 a pi2 . Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de trabalho em campos vetoriais, que envolve integrar o produto escalar do campo de força pela derivada da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da trajetória r(t) em relação a t , que é r'(t) . Vamos derivar cada componente:
r(t) = (t - sin t),i + (1 - cos t),j
Derivando cada componente:
r'(t) = (1 - cos t),i + sin t,j

Passo 3

Agora, substituímos a trajetória r(t) na função do campo de força F(x, y) :
F(r(t)) = x,i + (y + 2),j
Sabendo que x = t - sin t e y = 1 - cos t , temos:
F(r(t)) = (t - sin t),i + (1 - cos t + 2),j = (t - sin t),i + (3 - cos t),j

Passo 4

O trabalho W é dado pela integral do produto escalar do campo de força pela derivada da trajetória:
W = integralC F cdot dr = integral0^pi2 F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Vamos calcular esse produto escalar:
F(r(t)) cdot r'(t) = (t - sin t)(1 - cos t) + (3 - cos t)(sin t)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(t - sin t)(1 - cos t) + (3 - cos t)(sin t) = t(1 - cos t) - sin t (1 - cos t) + 3 sin t - sin t cos t
Podemos reorganizar os termos:
= t(1 - cos t) + (-sin t + cos t sin t) + 3 sin t - sin t cos t
Cancelando termos semelhantes:
= t(1 - cos t) + 2 sin t

Passo 6

Agora, a integral para o trabalho fica:
W = integral0^pi2 [ t(1 - cos t) + 2 sin t ] , dt
Vamos separar a integral:
W = integral0^pi2 t(1 - cos t) , dt + 2 integral0^pi2 sin t , dt

Passo 7

Calculando as integrais separadamente:
  1. Primeira integral:
integral t(1 - cos t) , dt = integral t , dt - integral t cos t , dt
A segunda parte requer integração por partes:
integral t cos t , dt = t sin t - integral sin t , dt = t sin t + cos t
Portanto:
integral t(1 - cos t) , dt = t^22 - t sin t - cos t + C
Avaliando de 0 a pi2 :
[ (pi2)^22 - pi2 sin (pi2) - cos (pi2) ] - [ 0 - 0 - 1 ] = pi^28 - pi2 - 0 + 1
  1. Segunda integral:
2 integral sin t , dt = -2 cos t + C
Avaliando de 0 a pi2 :
-2 cos (pi2) + 2 cos 0 = -2 cdot 0 + 2 cdot 1 = 2

Passo 8

Somando tudo:
W = ( pi^28 - pi2 + 1 ) + 2 = pi^28 - pi2 + 3

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é W = pi^28 - pi2 + 3 .

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