Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral de linha pelo teorema de Green. Verifique, então, o resultado pelo método da Seç̧ão 19.2.
, onde
é o triângulo com vértices em
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o triângulo de vértices
,
e
, usando o Teorema de Green e depois verificar o resultado por integração direta ao longo de cada lado. O conteúdo principal é aplicação do Teorema de Green a uma região triangular e comparação com a parametrização de cada aresta.
Passo 2
Pela fórmula de Green, se
e
, então
Calculamos
logo o integrando é
Passo 3
A região
é
. Então
Primeiro a integral interna:
Expandindo e integrando em
:
Passo 4
Agora verificamos por parametrização das arestas:
-
Aresta de
a : , , .
Então, e Integral nula. -
Aresta de
a : , , .
Então, e Integrandode a dá -
Aresta de
a : , , .
Então, e o integrando é zero.
Somando as três contribuições, obtemos
.
Passo 5
Concluímos que ambos os métodos coincidem e o valor da integral de linha é