Verifique se lim x r 1x-L existe.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência do limite limxto r1x-L. O conteúdo aqui é limites de funções racionais e continuidade. Vamos precisar lembrar que essa função só está definida quando xneq L e usar análise de limite lateral quando necessário.

Passo 2

A função considerada é f(x)=1x-L. Note que o domínio de f é xinR:xneq L. Se r estiver nesse domínio (isto é, rneq L), f é contínua em r e o limite é simplesmente o valor da função em r. Quando rneq L, aplicamos continuidade e obtemos
limxto r1x-L=1r-L

Passo 3

Se r=L, o ponto não pertence ao domínio de f. Precisamos analisar os limites laterais:
limxto L^-1x-L=-infty,limxto L^+1x-L=+infty
Como os limites laterais são diferentes (e infinitos), o limite limxto L1x-L não existe.

Resposta

O limite existe se e somente se rneq L, e nesse caso vale 1r-L Se r=L, o limite não existe.

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