Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de
, classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de
:
Passo 1
O enunciado pede para a função
encontrar os pontos críticos, classificá-los em máximo ou mínimo local e esboçar o gráfico.
Vamos usar as derivadas primeira e segunda (regra do poder) para localizar e classificar os extremos, e depois discutir o comportamento de para montar o esboço.
Vamos usar as derivadas primeira e segunda (regra do poder) para localizar e classificar os extremos, e depois discutir o comportamento de
Passo 2
Calculemos a derivada primeira usando a regra do poder em cada termo:
Fatorando,
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
As soluções são
Passo 4
Agora a segunda derivada para classificar cada ponto por testa-la no critério de concavidade:
Avaliações:
, indica máximo local em
.
, indica mínimo local em
.
, indica mínimo local em
.
Passo 5
Para completar a informação, avaliem-se os valores de
nesses pontos (opcional para o esboço):
Passo 6
Com isso, o gráfico de
tem comportamento de uma quartica com coeficiente líder positivo:
— Para ,
, desce até o mínimo em
, sobe até o máximo em
, desce até o mínimo em
e depois cresce para
.
No esboço, marcamos os três extremos nos pontos calculados e ligamos por curvas suaves respeitando essa variação monotônica.
— Para
No esboço, marcamos os três extremos nos pontos calculados e ligamos por curvas suaves respeitando essa variação monotônica.
Resposta
Os pontos críticos são
O gráfico é de uma quartica que vem de
, desce a um mínimo em
, sobe a um máximo em
, desce a um mínimo em
e depois cresce para
.