Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=x^{4}+4 x^{3}-4 x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+2
encontrar os pontos críticos, classificá-los em máximo ou mínimo local e esboçar o gráfico.
Vamos usar as derivadas primeira e segunda (regra do poder) para localizar e classificar os extremos, e depois discutir o comportamento de f para montar o esboço.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira usando a regra do poder em cada termo:
f'(x)=4x^{3}+12x^{2}-8x.
Fatorando,
f'(x)=4x\bigl(x^{2}+3x-2\bigr).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x\,(x^{2}+3x-2)=0.
As soluções são
x=0, \quad x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}, \quad x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}.

Passo 4

Agora a segunda derivada para classificar cada ponto por testa-la no critério de concavidade:
f''(x)=12x^{2}+24x-8.
Avaliações:
\displaystyle f''(0)= -8<0, indica máximo local em x=0.
\displaystyle f''\!\Bigl(\tfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\Bigr)>0, indica mínimo local em x=\tfrac{-3+\sqrt{17}}{2}.
\displaystyle f''\!\Bigl(\tfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\Bigr)>0, indica mínimo local em x=\tfrac{-3-\sqrt{17}}{2}.

Passo 5

Para completar a informação, avaliem-se os valores de f nesses pontos (opcional para o esboço):
f(0)=2, \quad f\!\Bigl(\tfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\Bigr)\approx1{,}55, \quad f\!\Bigl(\tfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\Bigr)\approx-67{,}99.

Passo 6

Com isso, o gráfico de f tem comportamento de uma quartica com coeficiente líder positivo:
— Para x\to-\infty, f(x)\to+\infty, desce até o mínimo em x=\tfrac{-3-\sqrt{17}}{2}, sobe até o máximo em x=0, desce até o mínimo em x=\tfrac{-3+\sqrt{17}}{2} e depois cresce para +\infty.
No esboço, marcamos os três extremos nos pontos calculados e ligamos por curvas suaves respeitando essa variação monotônica.

Resposta

Os pontos críticos são
x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\quad(\text{mínimo local}),\qquad x=0\quad(\text{máximo local}),\qquad x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\quad(\text{mínimo local}).íáí
O gráfico é de uma quartica que vem de +\infty, desce a um mínimo em \tfrac{-3-\sqrt{17}}{2}, sobe a um máximo em 0, desce a um mínimo em \tfrac{-3+\sqrt{17}}{2} e depois cresce para +\infty.

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