Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=4 x^{3}-8 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=4x^{3}-8x^{2}
1. Encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe).
2. Classificar cada ponto crítico como máximo local ou mínimo local.
3. Esboçar o gráfico de f.
Conteúdo: derivadas, teste da segunda derivada e noções de comportamento de funções.

Passo 2

Calcular a derivada primeira f'(x) usando a regra de potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(8x^{2}\bigr) =12x^{2}-16x.

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
12x^{2}-16x=4x\,(3x-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=\frac{4}{3}.

Passo 4

Usar o teste da segunda derivada. Primeiro ache
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{2}-16x\bigr) =24x-16.
Avalie em cada ponto crítico:
  • Em x=0: f''(0)=24\cdot0-16=-16<0,logo é máximo local.
  • Em x=\tfrac{4}{3}: f''\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) =24\cdot\tfrac{4}{3}-16 =32-16=16>0,logo é mínimo local.

Passo 5

Calcular os valores de f nesses pontos:
  • f(0)=4\cdot0^{3}-8\cdot0^{2}=0.
  • f\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) =4\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{3}-8\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{2} =\frac{256}{27}-\frac{128}{9} =\frac{256-384}{27} =-\frac{128}{27}\approx-4,74.

Passo 6

Identificar interceptos e monotonia:
  • Zerros de f: f(x)=4x^{2}(x-2), então x=0 (multiplicidade 2) e x=2.
  • Sinais de f':
    • Para x<0, f'>0 (função crescente).
    • Entre 0 e \tfrac{4}{3}, f'<0 (decrescente).
    • Para x>\tfrac{4}{3}, f'>0 (crescente).

Passo 7

Esboço de y=f(x):
\begin{array}{c} \text{y} \\\ \uparrow \\\\ 5+\cdot \\\ \mid \quad \backslash \\\ \mid \quad \quad \backslash \\\\ 0+\text{─────}\bullet (0,0)\text{───}\to \text{x} \\\ \mid \quad \quad \quad \backslash \quad \backslash \\\ \mid \quad \quad \quad \quad \bullet (2,0) \\\\ -5+\bullet \left(\frac{4}{3},-\frac{128}{27}\right) \\\ \mid \end{array}
Descrição do esboço: começa em -\infty para x\to-\infty, sobe até o máximo local em (0,0), desce até o mínimo em \left(\frac{4}{3},-\frac{128}{27}\right), e depois sobe cruzando o eixo em x=2 para +\infty.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
x=0 é máximo local com f(0)=0.
x=\tfrac{4}{3} é mínimo local com
f\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)=-\tfrac{128}{27}.
Esboço conforme descrito acima.

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