Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=-x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x) = -x^2 + 4x, classificá-los em máximo ou mínimo local e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas para achar os extremos e depois analisar a concavidade para classificar.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^2 + 4x\bigr) = -2x + 4.
O ponto crítico ocorre onde f'(x)=0.

Passo 3

Resolvendo f'(x)=0:
-2x + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Logo, x=2 é o único candidato a extremo.

Passo 4

Para classificar, usamos a segunda derivada:
f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x + 4) = -2.
Como f''(2) = -2 < 0, a concavidade é para baixo e x=2 é um ponto de máximo local.

Passo 5

Calculamos o valor da função no extremo:
f(2) = -(2)^2 + 4\cdot 2 = -4 + 8 = 4.
Portanto, o vértice é \bigl(2,4\bigr). As raízes estão em x=0 e x=4, e o gráfico é uma parábola voltada para baixo, com eixo de simetria x=2.

Resposta

Ponto crítico: (2,4).
Classificação: máximo local em x=2.
Esboço do gráfico: parábola côncava para baixo, vértice em (2,4) e intercepta o eixo x em 0 e 4.

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