Nos Exercícios 7-14, calcule a derivada.
\mathbf{v}(t)=\langle\operatorname{sen} 3 t, \cos 3 t\rangle

Passo 1

O enunciado dá a função vetor
\mathbf{v}(t)=\langle \operatorname{sen} 3t,\\ \cos 3t\rangle
e pede para calcular a derivada de \mathbf{v}(t) em relação a t.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é vetorial, com duas componentes escalares: a primeira é \operatorname{sen} 3t e a segunda é \cos 3t.
  • Quer-se \dfrac{d}{dt}\mathbf{v}(t).

Passo 2

Regra básica que vamos usar (derivada componente a componente):
Para uma função vetor \mathbf{v}(t)=\langle v_1(t),v_2(t)\rangle, a derivada é feita componente a componente:
\mathbf{v}'(t)=\left\langle v_1'(t),\,v_2'(t)\right\rangle.
Ou seja, basta derivar cada função escalar separadamente.

Passo 3

Relembrando derivadas fundamentais que precisamos:
  • A derivada de \sin u em relação a t, quando u depende de t, é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\sin(u(t))=\cos\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
  • A derivada de \cos u é
\frac{d}{dt}\cos(u(t))=-\sin\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
Aqui a ideia da regra da cadeia é: se uma função é composta h(u(t)), primeiro deriva-se h em relação a u e multiplica-se pela derivada de u em relação a t.

Passo 4

Identificar a função interna em cada componente. As duas componentes têm a mesma função interna:
u(t)=3t.
Derivando u(t) em relação a t obtemos
u'(t)=\frac{d}{dt}(3t)=3.
Isto é, a derivada da função interna é a constante 3.

Passo 5

Derivada da primeira componente \operatorname{sen} 3t:
Aplicando a fórmula da derivada de \sin(u(t)) com u(t)=3t,
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen} 3t\big)=\cos\big(3t\big)\cdot 3.
Podemos escrever de forma mais clara:
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen} 3t\big)=3\cos(3t).

Passo 6

Derivada da segunda componente \cos 3t:
Aplicando a fórmula da derivada de \cos(u(t)) com u(t)=3t,
\frac{d}{dt}\big(\cos 3t\big)=-\sin\big(3t\big)\cdot 3.
Ou seja,
\frac{d}{dt}\big(\cos 3t\big)=-3\sin(3t).

Passo 7

Agora juntamos as derivadas das componentes, usando a regra do Passo 2:
\mathbf{v}'(t)=\left\langle 3\cos(3t),\\\ -3\sin(3t)\right\rangle.
Opcionalmente, pode-se fatorar 3:
\mathbf{v}'(t)=3\langle \cos(3t),\\\ -\sin(3t)\rangle.

Resposta

\mathbf{v}'(t)=\langle 3\cos(3t),\\\ -3\sin(3t)\rangle

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