Nos Exercícios 7-14, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função vetor
e pede para calcular a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é vetorial, com duas componentes escalares: a primeira é
e a segunda é . - Quer-se
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (derivada componente a componente):
Para uma função vetor , a derivada é feita componente a componente:
Para uma função vetor
Ou seja, basta derivar cada função escalar separadamente.
Passo 3
Relembrando derivadas fundamentais que precisamos:
- A derivada de
em relação a , quando depende de , é dada pela regra da cadeia:
- A derivada de
é
Aqui a ideia da regra da cadeia é: se uma função é composta
, primeiro deriva-se
em relação a
e multiplica-se pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Identificar a função interna em cada componente. As duas componentes têm a mesma função interna:
Derivando
em relação a
obtemos
Isto é, a derivada da função interna é a constante
.
Passo 5
Derivada da primeira componente
:
Aplicando a fórmula da derivada de com
,
Aplicando a fórmula da derivada de
Podemos escrever de forma mais clara:
Passo 6
Derivada da segunda componente
:
Aplicando a fórmula da derivada de com
,
Aplicando a fórmula da derivada de
Ou seja,
Passo 7
Agora juntamos as derivadas das componentes, usando a regra do Passo 2:
Opcionalmente, pode-se fatorar
: