Nos Exercícios 7-14, calcule a derivada.
\mathbf{w}(s)=\left\langle e^{s}, e^{-2 s}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \mathbf{w}(s) e pede a sua derivada em relação a s. As informações relevantes são:
\mathbf{w}(s)=\left\langle e^{s},\, e^{-2 s}\right\rangle.
O que se deve calcular é \dfrac{d\mathbf{w}}{ds} (ou \mathbf{w}'(s)).

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicada): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
\mathbf{w}(s)=\left\langle w_1(s),\,w_2(s)\right\rangle,
então
\mathbf{w}'(s)=\left\langle w_1'(s),\,w_2'(s)\right\rangle.
Isto acontece porque cada componente é uma função escalar de s e a operação derivada atua em cada uma separadamente.

Passo 3

Derivar a primeira componente \,w_1(s)=e^{s}.
Fórmula que uso: a derivada da função exponencial \,e^{u} em relação à sua variável u é ela mesma:
\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}.
Aqui a variável é s, então
\frac{d}{ds}e^{s}=e^{s}.
Pequeno exemplo para fixar: em s=0, \dfrac{d}{ds}e^{s}\big|_{s=0}=e^{0}=1.

Passo 4

Derivar a segunda componente \,w_2(s)=e^{-2s} usando a regra da cadeia.
Explicação da regra da cadeia (didática): se uma função é composta, isto é, se f(s)=g(h(s)), a derivada é
f'(s)=g'(h(s))\cdot h'(s).
No nosso caso, tome g(u)=e^{u} e h(s)=-2s. Então w_2(s)=g(h(s)). Calcula-se:
g'(u)=e^{u},\qquad h'(s)=-2.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{ds}e^{-2s}=e^{h(s)}\cdot h'(s)=e^{-2s}\cdot(-2)=-2e^{-2s}.
Um jeito mental de ver: a derivada traz o expoente como fator multiplicativo quando o expoente é uma função linear de s.

Passo 5

Juntando as derivadas das duas componentes pelo passo 2, obtemos a derivada vetorial completa:
\mathbf{w}'(s)=\left\langle e^{s},\, -2e^{-2s}\right\rangle.
Isso já é o resultado final. Dá para escrever também como \dfrac{d\mathbf{w}}{ds}=\left\langle e^{s},-2e^{-2s}\right\rangle.

Resposta

\left\langle e^{s}, -2e^{-2s}\right\rangle

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