Nos Exercícios 7-14, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede a sua derivada em relação a
. As informações relevantes são:
O que se deve calcular é
(ou
).
Passo 2
Regra básica que vamos usar (explicada): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
Isto acontece porque cada componente é uma função escalar de
e a operação derivada atua em cada uma separadamente.
Passo 3
Derivar a primeira componente
.
Fórmula que uso: a derivada da função exponencial
em relação à sua variável
é ela mesma:
Aqui a variável é
, então
Pequeno exemplo para fixar: em
,
.
Passo 4
Derivar a segunda componente
usando a regra da cadeia.
Explicação da regra da cadeia (didática): se uma função é composta, isto é, se
, a derivada é
No nosso caso, tome
e
. Então
. Calcula-se:
Aplicando a regra da cadeia:
Um jeito mental de ver: a derivada traz o expoente como fator multiplicativo quando o expoente é uma função linear de
.
Passo 5
Juntando as derivadas das duas componentes pelo passo 2, obtemos a derivada vetorial completa:
Isso já é o resultado final. Dá para escrever também como
.