Nos Exercícios 15-16, encontre equações vetoriais e paramétricas do plano em R^3 que passa pela origem e é ortogonal a v. &
v=(4,0,-5) [Sugestão: construa dois vetores não paralelos ortogonais a v em R^3.]

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano em R^3 que passa pela origem e é ortogonal ao vetor v=(4,0,-5).
Conteúdo: planos em R^3, forma normal, forma vetorial e forma paramétrica.

Passo 2

Como o plano é ortogonal a v, esse vetor é a normal n do plano. Logo a forma cartesiana é
ncdot(x,y,z)=0 Longrightarrow 4x+0,y-5z=0 Longrightarrow 4x-5z=0

Passo 3

Para a forma vetorial precisamos de dois vetores a e b, ambos ortogonais a n e linearmente independentes.
Escolhemos
a=(0,1,0), pois
ncdota =4cdot0+0cdot1-5cdot0=0,
e
b=(5,0,4), pois
ncdotb =4cdot5+0cdot0-5cdot4=20-20=0

Passo 4

A equação vetorial do plano, com parâmetros s,tinR, é
r(s,t) = s,(0,1,0) + t,(5,0,4)

Passo 5

Escrevendo em forma paramétrica:
x=5t, y=s, z=4t, s,tinR

Resposta

Forma cartesiana:
4x-5z=0
Equação vetorial:
r(s,t)=s,(0,1,0)+t,(5,0,4)
Forma paramétrica:
x=5t, y=s, z=4t, s,tinR

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