Nos Exercícios 15-16, encontre equações vetoriais e paramétricas do plano em R^3 que passa pela origem e é ortogonal a v. &
v=(3,1,-6)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e a forma paramétrica do plano em R^3 que passa pela origem e é ortogonal ao vetor v=(3,1,-6). O conteúdo envolve a equação de um plano dado um ponto e um vetor normal, além da representação paramétrica usando dois vetores geradores no plano.

Passo 2

Para qualquer plano com vetor normal n e que passa pelo ponto r0, a equação vetorial é
ncdot(r-r0)=0
Aqui n=(3,1,-6) e r0=(0,0,0).

Passo 3

Como o plano passa pela origem, r0=0, a equação se reduz a
(3,1,-6)cdotr=0

Passo 4

Para a forma paramétrica, precisamos de dois vetores u e w que satisfaçam
3x+1y-6z=0
Duas escolhas independentes são
u=(1,-3,0), pois 3cdot1+1cdot(-3)-6cdot0=0,
e
w=(2,0,1), pois 3cdot2+1cdot0-6cdot1=0.

Passo 5

Assim a equação paramétrica do plano é
r(s,t)=s,(1,-3,0);+;t,(2,0,1),
com s,tinR. Em coordenadas isso dá
x = s + 2t, y = -3s, z = t

Resposta

Equação vetorial:
(3,1,-6)cdotr=0
Equação paramétrica:
r(s,t)=s,(1,-3,0)+t,(2,0,1), s,tinR

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