Nos exercícios de 15 a 20 parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente:
x^2+y^2+z^2-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície dada implicitamente por x^2 + y^2 + z^2 - 2y = 0. O conteúdo envolve geometria analítica de superfícies (esfera) e vamos precisar completar o quadrado em y e usar uma parametrização esférica.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado para identificar centro e raio. Temos:
x^2 + y^2 + z^2 - 2y = x^2 + (y^2 - 2y) + z^2 = x^2 + (y - 1)^2 - 1 + z^2 = 0
Logo,
x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 1
Isto mostra que a superfície é uma esfera de raio 1 e centro em (0,1,0).

Passo 3

Agora, para parametrizar a esfera, usamos coordenadas esféricas centradas em (0,1,0). Definimos dois parâmetros: o ângulo polar phiin[0,pi] medido a partir do eixo y e o azimutal thetain[0,2pi].
A parametrização fica então:
r(phi,theta)=l(x(phi,theta),;y(phi,theta),;z(phi,theta)r) =l(sinphicostheta,;1+cosphi,;sinphisinthetar)
Com domínio dos parâmetros:
0 <= phi <= pi, 0 <= theta < 2pi

Resposta

r(phi,theta)=l(sinphicostheta,;1+cosphi,;sinphisinthetar), com 0<=phi<=pi e 0<=theta<2pi.

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