Nos exercícios 17 a 20, calcule a integral iterada convertendo-a em coordenadas polares.
integral-2^2 integral0^raiz4-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral-2^2integral0^raiz4 - x^2l(x^2+y^2r),dy,dx
convertendo para coordenadas polares. O conteúdo aqui é a mudança de variáveis de (x,y) para (r,theta), usando
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Precisamos descrever a região de integração D em coordenadas polares. O domínio em (x,y) é
-2 <= x <= 2, 0 <= y <= raiz4 - x^2,
que é exatamente o semicírculo de raio 2 acima do eixo x. Em polares isso vira
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= pi

Passo 3

Na integral original o integrando é x^2+y^2. Em polares temos
x^2+y^2 = r^2,
e o elemento de área dy,dx vira r,dr,dtheta. Logo a integral se torna
integraltheta=0^piintegralr=0^2 r^2,l(r,dr,dthetar) =integral0^piintegral0^2r^3,dr,dtheta

Passo 4

Agora calculamos a integral em r e depois em theta:
integral0^2r^3,dr =[r^44]0^2 =2^44 =164 =4,
e então
integral0^pi4,dtheta =4l[thetar]0^pi =4pi

Resposta

4pi

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