Prove que dado epsilon>0 e tomando-se de<a=epsilon^n, x>de<a Rightarrow raiz[n]x>epsilon

Passo 1

O enunciado pede que, dado um epsilon>0, escolhamos de<a=epsilon^n e mostremos que
x>de<aLongrightarrowraiz[n]x>epsilon
O conteúdo usado aqui é a monotonicidade da função potência em R^+ e o fato de que a raiz enésima é a sua inversa.

Passo 2

Observação de monotonicidade: para quaisquer a,b>0 e inteiro n>=1, vale
a>b Longrightarrow a^n>b^n,
isto é, tmapsto t^n é estritamente crescente em R^+ e, portanto, sua inversa tmapsto t^1/n também é estritamente crescente.

Passo 3

Aplicando essa propriedade a x e epsilon^n, obtemos
x>epsilon^n Longrightarrow raiz[n]x>raiz[n]epsilon^n

Passo 4

Mas por definição de raiz enésima em números não–negativos temos
raiz[n]epsilon^n=epsilon
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x>epsilon^n Longrightarrow raiz[n]x>epsilon

Resposta

Tomando de<a=epsilon^n, fica demonstrado que x>de<a implica raiz[n]x>epsilon.

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