Prove que dado
e tomando-se
Passo 1
O enunciado pede que, dado um
, escolhamos
e mostremos que
O conteúdo usado aqui é a monotonicidade da função potência em
e o fato de que a raiz enésima é a sua inversa.
Passo 2
Observação de monotonicidade: para quaisquer
e inteiro
, vale
isto é,
é estritamente crescente em
e, portanto, sua inversa
também é estritamente crescente.
Passo 3
Aplicando essa propriedade a
e
, obtemos
Passo 4
Mas por definição de raiz enésima em números não–negativos temos
Logo
Resposta
Tomando
, fica demonstrado que
implica
.