Problema 3 Encontrar equações paramétricas para a superfície gerada pela rotação da curva y=\sin x, 0 \leq x \leq 2 \pi, sobre o eixo x. Além disso, fornecer instruções para gerar o gráfico desta superfície de revolução.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da superfície obtida ao girar a curva y=\sin x, com 0 \le x \le 2\pi, em torno do eixo x. O conteúdo envolve superfícies de revolução e parametrização; vamos usar a fórmula geral de rotação de um perfil em torno do eixo x.

Passo 2

Em geral, se uma curva de perfil no plano xy é dada por (x,\,f(x)), sua rotação em torno do eixo x gera a superfície paramétrica
X(u,v)=u,\quad Y(u,v)=f(u)\cos v,\quad Z(u,v)=f(u)\sin v,
onde u percorre o domínio da curva e v\in[0,2\pi] é o ângulo de revolução. Aplicando f(x)=\sin x, obtemos
X(u,v)=u,\quad Y(u,v)=\sin(u)\cos(v),\quad Z(u,v)=\sin(u)\sin(v),
com
0 \le u \le 2\pi,\quad 0 \le v \le 2\pi.

Passo 3

Para gerar o gráfico dessa superfície de revolução:
1. No Python com Matplotlib e NumPy:
\bullet importe
\text{numpy as np} e
\text{matplotlib.pyplot as plt} e
\text{from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D}.
\bullet defina
\displaystyle u = \text{np.linspace}(0,2\pi,N),
\displaystyle v=\text{np.linspace}(0,2\pi,M).
\bullet crie a malha
\displaystyle U,V=\text{np.meshgrid}(u,v).
\bullet calcule
\displaystyle X=U,
\displaystyle Y=\sin(U)\cdot\cos(V),
\displaystyle Z=\sin(U)\cdot\sin(V).
\bullet então
\displaystyle \text{ax = plt.figure().add_subplot}(111,\;\text{projection='3d'}),
\displaystyle \text{ax.plot_surface}(X,Y,Z),
\displaystyle \text{plt.show}().
2. No MATLAB:
\bullet faça
\displaystyle [U,V]=\text{meshgrid}(\text{linspace}(0,2\pi,M),\text{linspace}(0,2\pi,N)); \displaystyle X=U; \;Y=\sin(U).* \cos(V); \;Z=\sin(U).* \sin(V); \bullet chame
\displaystyle \text{surf}(X,Y,Z); \displaystyle \text{shading interp};

Resposta

As equações paramétricas da superfície de revolução são
X(u,v)=u,\quad Y(u,v)=\sin(u)\cos(v),\quad Z(u,v)=\sin(u)\sin(v),
com 0\le u\le2\pi e 0\le v\le2\pi.
Para gerar o gráfico, siga as instruções dadas no Passo 3, escolhendo Python/Matplotlib ou MATLAB conforme sua preferência.

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