Nos exercícios 1 a 18 encontre todas as soluções da EDO.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - 2y' + y = e^-x1+x^2,
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, vamos somar a solução complementar (homogênea) e uma solução particular. Usaremos o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 Longrightarrow (r-1)^2=0,
com raiz dupla r=1. Logo, a solução complementar é
yh(x) ;=; C1e^x ;+; C2,x,e^x

Passo 3

No método de variação de parâmetros tomamos
y1(x)=e^x, y2(x)=x,e^x
Calculamos o Wronskiano
W(x) = y1 & y2[6pt] y1' & y2' = e^x & x,e^x[6pt] e^x & (1+x)e^x =e^2x
Chamando
g(x)=e^-x1+x^2,
as fórmulas dão
u1'(x) ;=; -y2(x),g(x)W(x) =-x,e^xcdot e^-x(1+x^2),e^2x =-x,e^-2x1+x^2,
u2'(x) ;=;y1(x),g(x)W(x) =e^xcdot e^-x(1+x^2),e^2x =e^-2x1+x^2 ]

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x) =-integral x,e^-2x1+x^2,dx, u2(x) =integral e^-2x1+x^2,dx
Então a solução particular vem de
yp(x) =-y1(x),u1(x)+y2(x),u2(x) =e^xintegral x,e^-2x1+x^2,dx ;+; x,e^xintegral e^-2x1+x^2,dx

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1e^x + C2,x,e^x + e^xintegral x,e^-2x1+x^2,dx + x,e^xintegral e^-2x1+x^2,dx

Resposta

boxed y(x) = C1e^x + C2,x,e^x + e^xintegral x,e^-2x1+x^2,dx + x,e^xintegral e^-2x1+x^2,dx

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