Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Utilizando o método da variação de parâmetros, resolva a equação diferencial:
Utilizando o método da variação de parâmetros, resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que resolver a equação diferencial:
Usaremos o método da variação de parâmetros para encontrar a solução dessa equação. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que esteja relacionada ao termo do lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ r^{2} + 8r + 16 = 0 $:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 8 $ e $ c = 16 $. Substituindo:
Temos uma raiz dupla $ r = -4 $.
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz dupla $ r = -4 $, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes de integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ usando o método da variação de parâmetros. A forma geral da solução particular é:
Onde $ y_{1}(x) $ e $ y_{2}(x) $ são as soluções da equação homogênea que encontramos anteriormente, e $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ são funções que precisamos determinar.
Passo 6
Primeiro, identificamos $ y_{1}(x) = e^{-4x} $ e $ y_{2}(x) = x e^{-4x} $.
Para encontrar $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $, usamos as seguintes fórmulas:
Onde $ g(x) = \frac{e{-4x}}{x{2}} $ é o lado direito da equação diferencial e $ W $ é o Wronskiano das soluções $ y_{1} $ e $ y_{2} $.
Passo 7
Calculando o Wronskiano $ W $:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ u_{1}’(x) $ e $ u_{2}’(x) $:
Passo 9
Agora, integramos $ u_{1}’(x) $ e $ u_{2}’(x) $ para encontrar $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $:
Ignoramos as constantes de integração aqui, pois elas serão absorvidas nas constantes da solução homogênea.
Passo 10
Agora, substituímos $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ na expressão da solução particular:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea $ y_{h}(x) $ e da solução particular $ y_{p}(x) $:
Podemos fatorar $ e^{-4x} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes de integração.