Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Utilizando o método da variação de parâmetros, resolva a equação diferencial:
y^prime prime+8 y^prime+16 y=e^-4 xx^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que resolver a equação diferencial:
y'' + 8y' + 16y = e^-4xx^2
Usaremos o método da variação de parâmetros para encontrar a solução dessa equação. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que esteja relacionada ao termo do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y'' + 8y' + 16y = 0
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada:
r^2 + 8r + 16 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática $ r^{2} + 8r + 16 = 0 $:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 8r + 16 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 8 $ e $ c = 16 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Temos uma raiz dupla $ r = -4 $.

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dupla $ r = -4 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = -4
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes de integração.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ usando o método da variação de parâmetros. A forma geral da solução particular é:
yp(x)
Onde $ y_{1}(x) $ e $ y_{2}(x) $ são as soluções da equação homogênea que encontramos anteriormente, e $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ são funções que precisamos determinar.

Passo 6

Primeiro, identificamos $ y_{1}(x) = e^{-4x} $ e $ y_{2}(x) = x e^{-4x} $.
Para encontrar $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $, usamos as seguintes fórmulas:
y1(x) = e^-4x
y2(x) = x e^-4x
Onde $ g(x) = \frac{e{-4x}}{x{2}} $ é o lado direito da equação diferencial e $ W $ é o Wronskiano das soluções $ y_{1} $ e $ y_{2} $.

Passo 7

Calculando o Wronskiano $ W $:
W
Calculando as derivadas:
W = y1 & y2 y1' & y2' = y1y2' - y2y1'
y1' = -4e^-4x
Então:
y2' = e^-4x + x(-4)e^-4x = e^-4x - 4x e^-4x

Passo 8

Agora, vamos calcular $ u_{1}’(x) $ e $ u_{2}’(x) $:
u1'(x)
u2'(x)

Passo 9

Agora, integramos $ u_{1}’(x) $ e $ u_{2}’(x) $ para encontrar $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $:
u1'(x)
u2'(x)
Ignoramos as constantes de integração aqui, pois elas serão absorvidas nas constantes da solução homogênea.

Passo 10

Agora, substituímos $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ na expressão da solução particular:
u1(x)
Simplificando:
u2(x)

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea $ y_{h}(x) $ e da solução particular $ y_{p}(x) $:
yh(x)
Podemos fatorar $ e^{-4x} $:
yp(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^-4x(C1 + C2x - ln x - 1)
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes de integração.

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