Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Utilizando o método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular da equação diferencial:
y^prime prime-9 y^prime+14 y=28 x^2+6 x-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema é encontrar uma solução particular para a equação
y'' - 9y' + 14y = 28x^2 + 6x - 9
Estamos lidando com uma equação linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução particular supondo uma forma específica para yp baseada no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 9y' + 14y = 0
Para isso, encontramos a equação característica:
r^2 - 9r + 14 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
r = 9 pm raiz81 - 562 = 9 pm raiz252 = 9 pm 52
Então, as raízes são r = 7 e r = 2 . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^7x + C2 e^2x

Passo 3

Agora, vamos propor uma forma para a solução particular yp . O lado direito da equação é um polinômio de segundo grau: 28x^2 + 6x - 9 . Geralmente, assumimos que yp tem a mesma forma polinomial:
yp = Ax^2 + Bx + C
Como as funções exponenciais na solução homogênea não aparecem no polinômio, não precisamos multiplicar por x .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp :
yp' = 2Ax + B
yp'' = 2A
Agora, substituímos yp , yp' e yp'' na equação diferencial original:
2A - 9(2Ax + B) + 14(Ax^2 + Bx + C) = 28x^2 + 6x - 9
Simplificando:
2A - 18Ax - 9B + 14Ax^2 + 14Bx + 14C = 28x^2 + 6x - 9
Agrupando os termos semelhantes:
14Ax^2 + (-18A + 14B)x + (2A - 9B + 14C) = 28x^2 + 6x - 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
14A = 28 Rightarrow A = 2
-18A + 14B = 6 Rightarrow -36 + 14B = 6 Rightarrow 14B = 42 Rightarrow B = 3
2A - 9B + 14C = -9 Rightarrow 4 - 27 + 14C = -9 Rightarrow -23 + 14C = -9 Rightarrow 14C = 14 Rightarrow C = 1

Passo 5

Agora que encontramos os valores de A , B e C , podemos escrever a solução particular:
yp = 2x^2 + 3x + 1

Resposta

A solução particular da equação diferencial é
yp = 2x^2 + 3x + 1

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