Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Utilizando o método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular da equação diferencial:
Utilizando o método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema é encontrar uma solução particular para a equação
Estamos lidando com uma equação linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução particular supondo uma forma específica para
baseada no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos propor uma forma para a solução particular
. O lado direito da equação é um polinômio de segundo grau:
. Geralmente, assumimos que
tem a mesma forma polinomial:
Como as funções exponenciais na solução homogênea não aparecem no polinômio, não precisamos multiplicar por
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 5
Agora que encontramos os valores de
,
e
, podemos escrever a solução particular:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é