Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Resolva o problema de valor inicial:
Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica e aplicando as condições iniciais para achar os coeficientes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que precisamos resolver:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos
por
, o que nos leva a:
Essa é a equação quadrática que precisamos resolver para achar as raízes
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz real dupla:
Isso significa que a raiz
tem multiplicidade 2.
Passo 5
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 6
Aplicando a primeira condição inicial
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada de
para usar a segunda condição inicial
:
Aplicando
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do problema é: