Observação: A nota será composta pelo somatório das cinco melhores notas dentre as seis questões da avaliação.
Resolva o problema de valor inicial:
y^prime prime-10 y^prime+25 y=0, y(0)=1 e y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica e aplicando as condições iniciais para achar os coeficientes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que precisamos resolver:
y'' - 10 y' + 25 y = 0
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos y por e^r t , o que nos leva a:
r^2 - 10 r + 25 = 0
Essa é a equação quadrática que precisamos resolver para achar as raízes r .

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática r^2 - 10 r + 25 = 0 . Calculando o discriminante:
De<a = (-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 25 = 100 - 100 = 0
Como o discriminante é zero, temos uma raiz real dupla:
r = 102 = 5
Isso significa que a raiz r = 5 tem multiplicidade 2.

Passo 5

Com a raiz dupla r = 5 , a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t)e^5 t
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial y(0) = 1 :
y(0) = (C1 + C2 cdot 0)e^0 = C1 = 1
Então, C1 = 1 .

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada de y(t) para usar a segunda condição inicial y'(0) = 2 :
y'(t) = C2 e^5 t + (C1 + C2 t) cdot 5 e^5 t = (C2 + 5 C1 + 5 C2 t)e^5 t
Aplicando t = 0 :
y'(0) = (C2 + 5 C1) = 2
Substituindo C1 = 1 :
C2 + 5 = 2 implies C2 = 2 - 5 = -3

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = (1 - 3 t)e^5 t

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