Nos exercícios 1 a 18 encontre todas as soluções da EDO.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação
onde
é a derivada de
em relação a
. Esse tipo de equação se encaixa no formato de uma equação de Clairaut, em que podemos definir
e escrever a solução geral e a solução singular via o método padrão de Clairaut.
Passo 2
Fazendo a troca
, a equação fica
ou seja,
Esse é exatamente o formato de uma equação de Clairaut, com
e aqui
.
Passo 3
Na equação de Clairaut, a solução geral vem de tomar
constante, digamos
. Substituindo em
obtemos
onde
é a constante arbitrária da família de retas.
Passo 4
A solução singular (envelope da família) vem impondo
. Calculamos
e igualamos a zero:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
A solução geral é
e a solução singular (envelope) é