Nos exercícios 1 a 18 encontre todas as soluções da EDO.
x y^prime-e^y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
x,y' - e^y' - y = 0
onde y' é a derivada de y em relação a x. Esse tipo de equação se encaixa no formato de uma equação de Clairaut, em que podemos definir p = y' e escrever a solução geral e a solução singular via o método padrão de Clairaut.

Passo 2

Fazendo a troca p = y', a equação fica
x,p - e^p - y = 0
ou seja,
y = x,p - e^p
Esse é exatamente o formato de uma equação de Clairaut, com y = x,p + f(p) e aqui f(p) = -e^p.

Passo 3

Na equação de Clairaut, a solução geral vem de tomar p constante, digamos p = C. Substituindo em y = x,p - e^p obtemos
y = C,x - e^C,
onde C é a constante arbitrária da família de retas.

Passo 4

A solução singular (envelope da família) vem impondo partial y/partial C = 0. Calculamos
partialpartial Cl(C,x - e^Cr) = x - e^C
e igualamos a zero:
x - e^C = 0 Longrightarrow e^C = x Longrightarrow C = ln x
Substituindo na expressão de y:
y = xln x - e^ln x = xln x - x

Resposta

A solução geral é
y = C,x - e^C,
e a solução singular (envelope) é
y = xln x - x

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