Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
x^2+z^2-y=2

Passo 1

O enunciado pede para identificar e representar geometricamente a superfície dada por
x^2+z^2-y=2
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas – em particular, reconhecer que tipo de paraboloide essa equação descreve. Vamos precisar colocar a equação numa forma canônica e depois discutir suas secções transversais e seu vértice.

Passo 2

Isolamos y para ver a forma padrão. Da equação
x^2+z^2-y=2
temos
y = x^2 + z^2 - 2
Isso mostra claramente um paraboloide elíptico com coeficientes iguais nos termos x^2 e z^2, ou seja, de equação canônica
y + 2 = x^2 + z^2

Passo 3

Analisamos as características principais:
– Vértice: ocorre onde x=0 e z=0, ou seja, em (0,-2,0).
– Eixo de simetria: é o eixo paralelo ao y que passa por (0,-2,0).
– Abertura: como o coeficiente de x^2+z^2 é positivo, o paraboloide abre no sentido de y crescente.

Passo 4

Estudamos as secções transversais:
– Para um plano horizontal y = k, a interseção é
x^2 + z^2 = k + 2,
um círculo de raio raizk+2, definido somente para k>= -2.
– Para um plano vertical paralelo a xz, fixando x=x0 (ou z=z0), a curva
y = x0^2 + z^2 -2
(ou y = x^2 + z0^2 -2) é uma parábola no plano y z (ou y x).

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de equação canônica
y + 2 = x^2 + z^2,
com vértice em (0,-2,0), eixo paralelo ao eixo y e que abre para valores crescentes de y. Geometricamente, suas secções horizontais são círculos de raio raizy+2 para y>= -2.

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