Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
Passo 1
O enunciado pede para identificar e representar geometricamente a superfície dada por
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas – em particular, reconhecer que tipo de paraboloide essa equação descreve. Vamos precisar colocar a equação numa forma canônica e depois discutir suas secções transversais e seu vértice.
Passo 2
Isolamos
para ver a forma padrão. Da equação
temos
Isso mostra claramente um paraboloide elíptico com coeficientes iguais nos termos
e
, ou seja, de equação canônica
Passo 3
Analisamos as características principais:
– Vértice: ocorre onde e
, ou seja, em
.
– Eixo de simetria: é o eixo paralelo ao que passa por
.
– Abertura: como o coeficiente de é positivo, o paraboloide abre no sentido de
crescente.
– Vértice: ocorre onde
– Eixo de simetria: é o eixo paralelo ao
– Abertura: como o coeficiente de
Passo 4
Estudamos as secções transversais:
– Para um plano horizontal , a interseção é
– Para um plano horizontal
um círculo de raio
, definido somente para
.
– Para um plano vertical paralelo a , fixando
(ou
), a curva
– Para um plano vertical paralelo a
(ou
) é uma parábola no plano
–
(ou
–
).
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de equação canônica
com vértice em
, eixo paralelo ao eixo
e que abre para valores crescentes de
. Geometricamente, suas secções horizontais são círculos de raio
para
.