Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
-16 x^2+9 y^2-z^2=144

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segundo grau em R^3
-16x^2 + 9y^2 - z^2 = 144
O conteúdo aqui é identificação de quadricas e representação geométrica. Vamos reescrever em forma canônica, classificar o tipo de superfície pelo sinal dos coeficientes e, por fim, descrever como ela se comporta no espaço.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 144 para obter a forma padrão:
-16x^2144 + 9y^2144 - z^2144 = 1 Longrightarrow -x^29 + y^216 - z^2144 = 1

Passo 3

Reorganizamos para exibir claramente os sinais:
y^216 ;-;x^29;-;z^2144 ;=;1
Aqui temos um coeficiente positivo ( y^2/16) e dois coeficientes negativos ( -x^2/9 e -z^2/144). Sempre que uma quadric surface tem um termo positivo e dois termos negativos igual a 1, trata-se de um hiperboloide de duas folhas, cujo eixo principal é a direção do termo positivo, ou seja, o eixo y.

Passo 4

Para visualizar melhor, note as seções:
  1. Em planos y = y0 fixo, a seção é
-x^29 - z^2144 = 1 - y0^216
Isso só tem pontos reais quando 1 - y0^2/16 ;<;0, isto é, lvert y0rvert>4. Nessas fatias ( lvert y0rvert>4) obtemos hipérboles.

2. Em z=0, a curva é
y^216 - x^29 = 1,
uma hipérbole no plano xy com vértices em (0,pm4,0).

Passo 5

Portanto, geometricamente temos duas “folhas” separadas:
  • Uma para y>4, aberta em direção positiva de y.
  • Outra para y<-4, aberta em direção negativa de y.
    Cada folha tem seção hiperbólica transversal nos planos paralelos a xz. Os vértices estão em (0,4,0) e (0,-4,0).

Resposta

A superfície é um hiperboloide de duas folhas com eixo principal ao longo do eixo y, vértices em (0,pm4,0) e aberturas para ,y>4 e ,y<-4.

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