Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de segundo grau em
O conteúdo aqui é identificação de quadricas e representação geométrica. Vamos reescrever em forma canônica, classificar o tipo de superfície pelo sinal dos coeficientes e, por fim, descrever como ela se comporta no espaço.
Passo 2
Dividimos ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Passo 3
Reorganizamos para exibir claramente os sinais:
Aqui temos um coeficiente positivo (
) e dois coeficientes negativos (
e
). Sempre que uma quadric surface tem um termo positivo e dois termos negativos igual a
, trata-se de um hiperboloide de duas folhas, cujo eixo principal é a direção do termo positivo, ou seja, o eixo
.
Passo 4
Para visualizar melhor, note as seções:
- Em planos
fixo, a seção é
Isso só tem pontos reais quando
, isto é,
. Nessas fatias (
) obtemos hipérboles.
2. Em , a curva é
2. Em
uma hipérbole no plano
com vértices em
.
Passo 5
Portanto, geometricamente temos duas “folhas” separadas:
- Uma para
, aberta em direção positiva de . - Outra para
, aberta em direção negativa de .
Cada folha tem seção hiperbólica transversal nos planos paralelos a. Os vértices estão em e .
Resposta
A superfície é um hiperboloide de duas folhas com eixo principal ao longo do eixo
, vértices em
e aberturas para
e
.