Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
z=x^2-y^2

Passo 1

Temos a superfície em R^3 dada por
z = x^2 - y^2
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas e uso de cortes (seções) para entender a forma. Vamos estudar cortes por planos coordenados e curvas de nível para identificar o tipo e depois esboçar a superfície.

Passo 2

Analisamos a seção por y=0. Substituindo em ;z=x^2-y^2; obtemos
z = x^2
Isso é uma parábola no plano xz, que abre para cima. Mostra que em direção do eixo x a superfície curva positivamente.

Passo 3

Agora a seção por x=0. Substituindo em ;z=x^2-y^2; obtemos
z = -,y^2
Isso é outra parábola, mas no plano yz, que abre para baixo. Mostra que em direção do eixo y a superfície curva negativamente.

Passo 4

Estudamos as curvas de nível, isto é, interseções com planos z=c. Da equação
x^2 - y^2 = c
vemos que para
;c>0; temos hipérboles com eixo maior ao longo de x,
;c<0; hipérboles com eixo maior ao longo de y,
e para ;c=0; as retas y=pm x.

Passo 5

A combinação de cortes parabólicos em direções opostas e curvas de nível hiperbólicas caracteriza um paraboloide hiperbólico, também conhecido como “sela”, pois lembra o formato de uma sela de cavalo: curva para cima numa direção e para baixo na direção ortogonal.

Resposta

A superfície
z = x^2 - y^2
é um paraboloide hiperbólico (ou “sela”), com parábolas nos planos y=0 e x=0 e hipérboles como curvas de nível.

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