Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
Passo 1
Temos a superfície em
dada por
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas e uso de cortes (seções) para entender a forma. Vamos estudar cortes por planos coordenados e curvas de nível para identificar o tipo e depois esboçar a superfície.
Passo 2
Analisamos a seção por
. Substituindo em
obtemos
Isso é uma parábola no plano
, que abre para cima. Mostra que em direção do eixo
a superfície curva positivamente.
Passo 3
Agora a seção por
. Substituindo em
obtemos
Isso é outra parábola, mas no plano
, que abre para baixo. Mostra que em direção do eixo
a superfície curva negativamente.
Passo 4
Estudamos as curvas de nível, isto é, interseções com planos
. Da equação
vemos que para
temos hipérboles com eixo maior ao longo de
,
hipérboles com eixo maior ao longo de
,
e para as retas
.
e para
Passo 5
A combinação de cortes parabólicos em direções opostas e curvas de nível hiperbólicas caracteriza um paraboloide hiperbólico, também conhecido como “sela”, pois lembra o formato de uma sela de cavalo: curva para cima numa direção e para baixo na direção ortogonal.
Resposta
A superfície
é um paraboloide hiperbólico (ou “sela”), com parábolas nos planos
e
e hipérboles como curvas de nível.