Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
x^2+y^2-z^2+18 z-81=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e representar geometricamente a superfície de equação
x^2+y^2-z^2+18z-81=0
O conteúdo aqui é classificação de quádricas no espaço usando “completar o quadrado” e comparação com formas-padrão.

Passo 2

Reescrevemos os termos em z agrupados e completamos o quadrado. Note que
-z^2+18z=-l(z^2-18zr) =-l[(z-9)^2-81r] =-(z-9)^2+81
Substituindo na equação original:
x^2+y^2+l[-(z-9)^2+81r]-81=0

Passo 3

Simplificando a expressão acima, os termos +81 e -81 se cancelam, ficando
x^2+y^2-(z-9)^2=0,
ou seja,
x^2+y^2=(z-9)^2

Passo 4

A equação x^2+y^2=(z-9)^2 é a forma-padrão de um cone circular duplo (duas napes) cujo vértice é (0,0,9) e cujo eixo é o eixo z. Como o coeficiente em x^2+y^2 e o em (z-9)^2 são iguais, o ângulo semi-apertural do cone é de 45^circ.

Resposta

A superfície é um cone circular duplo com vértice em (0,0,9) e eixo ao longo de z, definido por
x^2+y^2=(z-9)^2
Graficamente, trata-se de duas folhas de cone de semi-ângulo 45^circ, uma abrindo para cima e outra para baixo a partir de (0,0,9).

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