Nos Exercícios 19 e 20 , escolha h e k para que o sistema tenha (a) nenhuma solução, (b) uma única solução e (c) muitas soluções. Dê respostas separadas para cada item.
x1+h x2 & =2 4 x1+8 x2 & =k

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x1+h,x2=2, 4,x1+8,x2=k
e pede para escolher h e k nos casos de (a) nenhuma solução, (b) uma única solução e (c) muitas soluções. O conteúdo aqui é sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, e vamos usar a condição de existência e unicidade dada pelo determinante da matriz de coeficientes e o teste de consistência quando o determinante for zero.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = 1 & h 4 & 8
e seu determinante vale
det(A)=1cdot 8 - 4cdot h = 8 - 4h
Se det(A)neq 0, o sistema tem uma única solução, isto é
8 - 4h neq 0 Long<=ftrightarrow h neq 2

Passo 3

Quando det(A)=0, temos h=2 e a matriz fica singular. Nesse caso, para verificar se há soluções precisamos comparar as duas equações. Substituindo h=2 na primeira equação obtemos
x1+2x2=2
Multiplicando esse resultado por 4 dá
4x1+8x2=8
Para que o sistema original seja consistente, essa última deve coincidir com a segunda equação 4x1+8x2=k. Logo:
  • Se k=8, as duas equações são equivalentes e há muitas soluções.
  • Se kneq 8, há contradição e o sistema não tem solução.

Resposta

(a) h=2 e kneq 8 (nenhuma solução)
(b) hneq 2 e k qualquer (uma única solução)
(c) h=2 e k=8 (muitas soluções)

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