• Questão 16. Determine a derivada de ordem n.
    f(x)=ln x

Passo 1

Resumo do enunciado: a questão pede a derivada de ordem n da função
f(x)=ln x
Conteúdo: cálculo diferencial (derivadas de ordem superior).
O que vamos precisar:
  • Regra da derivada de ln x: l(ln xr)'=1/x.
  • Regra da derivada de potência: l(x^mr)'=m,x^m-1.
  • Noção de fatorial para identificar o padrão.

Passo 2

Primeiro derivada:
f'(x)=ddxln x=1x=x^-1

Passo 3

Segunda derivada: aplicando a regra da potência em x^-1,
f''(x)=ddxl(x^-1r)=-1,x^-2=-1x^2

Passo 4

Terceira derivada: em -x^-2,
f'''(x)=ddxl(-x^-2r)=-1cdot(-2),x^-3=2,x^-3=2!x^3

Passo 5

Quarta derivada: em 2x^-3,
f^(4)(x)=ddxl(2,x^-3r)=2cdot(-3),x^-4=-6,x^-4=-3!x^4

Passo 6

Observando os coeficientes e sinais:
f'(x)&=+0!x^1, f''(x)&=-1!x^2, f'''(x)&=+2!x^3, f^(4)(x)&=-3!x^4,
vemos o padrão
f^(n)(x)=(-1)^,n-1,(n-1)!x^n

Resposta

boxedf^(n)(x)=(-1)^,n-1,(n-1)!x^n

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