Nos Exercícios 19 e 20 , escolha h e k para que o sistema tenha (a) nenhuma solução, (b) uma única solução e (c) muitas soluções. Dê respostas separadas para cada item.
20 x1-3 x2 & =1 2 x1+h x2 & =k

Passo 1

O sistema é
x1-3x2=1, 2x1+h,x2=k
Para analisar quantas soluções ele pode ter, vamos escrever sua matriz de coeficientes
A= 1 & -3 2 & h
e usar o determinante det(A) para ver quando há solução única ou casos degenerados.

Passo 2

O determinante é
det(A)=1cdot h -(-3)cdot2 = h+6
Se det(A)neq0, ou seja, se
h+6neq0Long<=ftrightarrow hneq -6,
então o sistema tem exatamente uma solução, independentemente de k.

Passo 3

Quando h=-6, o determinante se anula e as duas equações podem ser paralelas ou coincidentes. Substituindo h=-6 a segunda equação fica
2x1-6x2=k
Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos
2x1-6x2=2
Para que não haja contradição, deve ser k=2. Assim:
  • Se kneq2, as retas são paralelas e não se intersectam to nenhuma solução.
  • Se k=2, a segunda equação é exatamente a primeira vezes 2to infinitas soluções.

Resposta

(a) Nenhuma solução: h=-6 e kneq2.
(b) Uma única solução: hneq -6 (qualquer k).
(c) Muitas soluções: h=-6 e k=2.

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