Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\frac{n+1}{2 n-1}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência \displaystyle a_n = \frac{n+1}{2n-1}
e determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência definida por função racional em n.

Passo 2

Quando temos uma sequência dada por quociente de polinômios de mesmo grau, o limite, se existir, é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Alternativamente, podemos dividir numerador e denominador por n.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por n, obtemos
\frac{n+1}{2n-1} = \frac{1 + \tfrac{1}{n}}{2 - \tfrac{1}{n}}.

Passo 4

À medida que n \to \infty, temos \tfrac{1}{n}\to 0, logo o numerador tende a 1 e o denominador a 2. Portanto,
\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n-1} = \frac{1}{2}.
Isto mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n-1} = \frac{1}{2}.

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