Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\frac{2 n^{2}+1}{3 n^{2}-n}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência \displaystyle a_{n}=\frac{2n^{2}+1}{3n^{2}-n}
e, caso ela seja convergente, determinar seu limite. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência dada por quociente de polinômios de mesmo grau.

Passo 2

Para entender o comportamento quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n} =\frac{2n^{2}+1}{3n^{2}-n} =\frac{2+\frac{1}{n^{2}}}{3-\frac{1}{n}}.

Passo 3

À medida que n\to\infty, temos \frac{1}{n}\to 0 e \frac{1}{n^{2}}\to 0.
Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{2+0}{3-0} =\frac{2}{3}.

Passo 4

Concluímos que a sequência é convergente e seu limite é \tfrac{2}{3}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+1}{3n^{2}-n}=\frac{2}{3}.

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