Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (ou PVI):
y^prime+y=5 sen(2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária $ y’ + y = 5 , \sin(2t) $. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente sobre equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Temos $ y’ + y = 5 , \sin(2t) $. Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ t $, e $ y $ é a função que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, para resolver uma equação linear de primeira ordem como essa, usamos o fator integrante. O fator integrante é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a integração e a solução da equação.
A fórmula do fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Onde $ P(t) $ é o coeficiente de $ y $ na equação padrão $ y’ + P(t)y = Q(t) $.

Passo 4

No nosso caso, $ P(t) = 1 $ porque a equação é $ y’ + y = 5 , \sin(2t) $.
Então, calculamos o fator integrante:
P(t) = 1

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{t} $:
e^t
A esquerda da equação agora é a derivada de $ e^{t} y $, graças ao fator integrante.

Passo 6

Então, podemos reescrever a equação como:
ddt ( e^t y ) = 5 , e^t sin(2t)
Isso simplifica a equação e facilita a próxima etapa, que é integrar ambos os lados.

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
O lado esquerdo simplifica para $ e^{t} y $, e precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 8

Para integrar $ 5 , e^{t} \sin(2t) $, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral resultará em uma combinação de funções exponenciais e senos/cossenos. Após realizar a integração, obtemos:
5 , e^t sin(2t)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Simplificando a expressão, temos:
e^t y = e^t sin(2t) - e^t cos(2t) + C
Para encontrar $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{t} $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = sin(2t) - cos(2t) + C , e^-t
Onde $ C $ é uma constante real qualquer.

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