Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (ou PVI):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária $ y’ + y = 5 , \sin(2t) $. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente sobre equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Temos $ y’ + y = 5 , \sin(2t) $. Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ t $, e $ y $ é a função que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, para resolver uma equação linear de primeira ordem como essa, usamos o fator integrante. O fator integrante é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a integração e a solução da equação.
A fórmula do fator integrante é:
Onde $ P(t) $ é o coeficiente de $ y $ na equação padrão $ y’ + P(t)y = Q(t) $.
Passo 4
No nosso caso, $ P(t) = 1 $ porque a equação é $ y’ + y = 5 , \sin(2t) $.
Então, calculamos o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{t} $:
A esquerda da equação agora é a derivada de $ e^{t} y $, graças ao fator integrante.
Passo 6
Então, podemos reescrever a equação como:
Isso simplifica a equação e facilita a próxima etapa, que é integrar ambos os lados.
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
O lado esquerdo simplifica para $ e^{t} y $, e precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 8
Para integrar $ 5 , e^{t} \sin(2t) $, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral resultará em uma combinação de funções exponenciais e senos/cossenos. Após realizar a integração, obtemos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Simplificando a expressão, temos:
Para encontrar $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{t} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante real qualquer.