Nos Exercícios 19-22, use a regra do produto apropriada para calcular a derivada, sendo
\mathbf{r}_{1}(t)=\left\langle 8 t, 4,-t^{3}\right\rangle, \quad \mathbf{r}_{2}(t)=\left\langle 0, e^{t},-6\right\rangle
\frac{d}{d t}\left(\mathbf{r}_{1}(t) \times \mathbf{r}_{2}(t)\right)

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos. O enunciado pede para calcular
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}_1(t)\times \mathbf{r}_2(t)\bigr)
onde foram dadas as funções vetoriais
\mathbf{r}_1(t)=\langle 8t,\,4,\,-t^{3}\rangle, \qquad \mathbf{r}_2(t)=\langle 0,\,e^{t},\,-6\rangle.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Cada função vetorial tem três componentes escalares (primeira, segunda e terceira).
  • As componentes são funções simples de t: polinômios e exponencial.
  • Queremos a derivada em relação a t do produto vetorial \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2.

Passo 2

Qual regra vamos usar (e por que). Para derivar o produto vetorial vale a regra do produto exatamente análoga à do produto escalar: a derivada do produto vetorial é a soma de dois termos, diferenciando uma das funções por vez. Ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}_1(t)\times \mathbf{r}_2(t)\bigr) = \mathbf{r}_1'(t)\times \mathbf{r}_2(t) + \mathbf{r}_1(t)\times \mathbf{r}_2'(t).
Essa fórmula vem da bilinearidade do produto vetorial e da regra da soma/produto para derivadas. Vamos aplicar essa identidade compondo os passos: achar \mathbf{r}_1'(t) e \mathbf{r}_2'(t), calcular os dois produtos vetoriais e somá-los.

Passo 3

Derivar componente a componente as funções vetoriais. Derivada de vetor é derivada das componentes:
  • Regra rápidas de derivação que vamos usar:
    • \dfrac{d}{dt}(at)=a para constante a.
    • \dfrac{d}{dt}\text{(c)}=0 se c é constante.
    • \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n t^{n-1}.
    • \dfrac{d}{dt}(e^{t})=e^{t}.
      Aplicando isso:
\mathbf{r}_1'(t)=\left\langle \dfrac{d}{dt}(8t),\,\dfrac{d}{dt}(4),\,\dfrac{d}{dt}(-t^{3})\right\rangle = \langle 8,\,0,\,-3t^{2}\rangle.
\mathbf{r}_2'(t)=\left\langle \dfrac{d}{dt}(0),\,\dfrac{d}{dt}(e^{t}),\,\dfrac{d}{dt}(-6)\right\rangle = \langle 0,\,e^{t},\,0\rangle.

Passo 4

Calcular o primeiro termo \mathbf{r}_1'(t)\times \mathbf{r}_2(t). Usamos a fórmula componente a componente para o produto vetorial: se A=\langle A_1,A_2,A_3\rangle e B=\langle B_1,B_2,B_3\rangle então
A\times B=\bigl\langle A_2B_3-A_3B_2,\; A_3B_1-A_1B_3,\; A_1B_2-A_2B_1\bigr\rangle.
Aqui A=\mathbf{r}_1'(t)=\langle 8,0,-3t^2\rangle e B=\mathbf{r}_2(t)=\langle 0,e^t,-6\rangle. Então:
  • primeira componente:
A_2B_3-A_3B_2 = 0\cdot(-6)-(-3t^2)\cdot e^{t} = 3t^{2}e^{t}.
  • segunda componente:
A_3B_1-A_1B_3 = (-3t^2)\cdot 0 - 8\cdot(-6) = 48.
  • terceira componente:
A_1B_2-A_2B_1 = 8\cdot e^{t} - 0\cdot 0 = 8e^{t}.
Logo
\mathbf{r}_1'(t)\times \mathbf{r}_2(t)=\langle 3t^{2}e^{t},\;48,\;8e^{t}\rangle.

Passo 5

Calcular o segundo termo \mathbf{r}_1(t)\times \mathbf{r}_2'(t). Agora A=\mathbf{r}_1(t)=\langle 8t,4,-t^3\rangle e B=\mathbf{r}_2'(t)=\langle 0,e^t,0\rangle. Aplicando a mesma fórmula:
  • primeira componente:
A_2B_3-A_3B_2 = 4\cdot 0 - (-t^3)\cdot e^{t} = t^{3}e^{t}.
  • segunda componente:
A_3B_1-A_1B_3 = (-t^3)\cdot 0 - (8t)\cdot 0 = 0.
  • terceira componente:
A_1B_2-A_2B_1 = (8t)\cdot e^{t} - 4\cdot 0 = 8te^{t}.
Logo
\mathbf{r}_1(t)\times \mathbf{r}_2'(t)=\langle t^{3}e^{t},\;0,\;8te^{t}\rangle.

Passo 6

Somar os dois termos para obter a derivada pedida. Usando a regra do Passo 2:
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}_1\times \mathbf{r}_2\bigr) = \mathbf{r}_1'(t)\times \mathbf{r}_2(t) + \mathbf{r}_1(t)\times \mathbf{r}_2'(t).
Somando componente a componente:
  • primeira componente:
3t^{2}e^{t} + t^{3}e^{t} = e^{t}\bigl(3t^{2}+t^{3}\bigr) = t^{2}e^{t}(t+3).
  • segunda componente:
48 + 0 = 48.
  • terceira componente:
8e^{t} + 8te^{t} = 8e^{t}(1+t).
Portanto a derivada simplificada é
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}_1(t)\times \mathbf{r}_2(t)\bigr) = \bigl\langle t^{2}e^{t}(t+3),\;48,\;8e^{t}(t+1)\bigr\rangle.

Resposta

\displaystyle \bigl\langle t^{2}e^{t}(t+3),\;48,\;8e^{t}(t+1)\bigr\rangle

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