Nos Exercícios 19-22, use a regra do produto apropriada para calcular a derivada, sendo
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos. O enunciado pede para calcular
onde foram dadas as funções vetoriais
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Cada função vetorial tem três componentes escalares (primeira, segunda e terceira).
- As componentes são funções simples de
: polinômios e exponencial. - Queremos a derivada em relação a
do produto vetorial .
Passo 2
Qual regra vamos usar (e por que). Para derivar o produto vetorial vale a regra do produto exatamente análoga à do produto escalar: a derivada do produto vetorial é a soma de dois termos, diferenciando uma das funções por vez. Ou seja,
Essa fórmula vem da bilinearidade do produto vetorial e da regra da soma/produto para derivadas. Vamos aplicar essa identidade compondo os passos: achar
e
, calcular os dois produtos vetoriais e somá-los.
Passo 3
Derivar componente a componente as funções vetoriais. Derivada de vetor é derivada das componentes:
- Regra rápidas de derivação que vamos usar:
-
para constante . -
se é constante. -
. -
.
Aplicando isso:
-
Passo 4
Calcular o primeiro termo
. Usamos a fórmula componente a componente para o produto vetorial: se
e
então
Aqui
e
. Então:
- primeira componente:
- segunda componente:
- terceira componente:
Logo
Passo 5
Calcular o segundo termo
. Agora
e
. Aplicando a mesma fórmula:
- primeira componente:
- segunda componente:
- terceira componente:
Logo
Passo 6
Somar os dois termos para obter a derivada pedida. Usando a regra do Passo 2:
Somando componente a componente:
- primeira componente:
- segunda componente:
- terceira componente:
Portanto a derivada simplificada é