Seja f: R^2 R^3 dada por f(u, v)=(x, y, z), onde lx=u y=v z=u^2+v^2 Dê sua imagem e mostre que sua imagem coincide com o gráfico da função z=x^2+y^2 ;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a aplicação f: R^2 to R^3 dada por f(u,v)=(x,y,z) com x=u, y=v e z=u^2+v^2. O conteúdo envolve imagem de aplicação paramétrica e gráfico de função de duas variáveis.

Passo 2

Para descrever a imagem de f, escrevemos todo ponto gerado por f como (u,v,u^2+v^2). Assim
Im(f)=(u,v,u^2+v^2)mid (u,v)inR^2,

Passo 3

Mostramos que cada ponto da imagem satisfaz a equação z=x^2+y^2. De fato, se (x,y,z)=f(u,v), então x=u e y=v, logo z=u^2+v^2=x^2+y^2.

Passo 4

Para a inclusão inversa, pegue qualquer (x,y,z) com z=x^2+y^2. Basta escolher u=x e v=y. Então
f(u,v)=f(x,y)=(x,y,x^2+y^2)=(x,y,z), o que mostra que todo ponto do gráfico de z=x^2+y^2 pertence à imagem de f.

Resposta

Im(f)=(x,y,z)inR^3mid z=x^2+y^2, que é exatamente o gráfico da função z=x^2+y^2.

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