resolva a edo abaixo com método de coeficientes indeterminados
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método de coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa. Vamos precisar aplicar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso significa que estamos procurando funções
cuja segunda derivada vezes 1 mais 4 vezes a função original seja zero.
Passo 3
Resolvendo a equação homogênea, encontramos os valores característicos da equação característica associada:
Como temos raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo do lado direito é
, que já é parte da solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição inicial por
para evitar redundância. Então, supomos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
e
na equação diferencial:
Então:
Simplificando, os termos com
se cancelam:
Passo 7
Agora, igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.