resolva a edo abaixo com método de coeficientes indeterminados
y^prime prime+4 y=3 cos (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método de coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
y^prime prime + 4y = 3 cos(2x)
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa. Vamos precisar aplicar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y^prime prime + 4y = 0
Isso significa que estamos procurando funções y cuja segunda derivada vezes 1 mais 4 vezes a função original seja zero.

Passo 3

Resolvendo a equação homogênea, encontramos os valores característicos da equação característica associada:
r^2 + 4 = 0 r^2 = -4 r = pm 2i
Como temos raízes complexas r = pm 2i , a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação completa:
y^prime prime + 4y = 3 cos(2x)
Como o termo do lado direito é 3 cos(2x) , que já é parte da solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição inicial por x para evitar redundância. Então, supomos que a solução particular tem a forma:
yp(x) = x(A cos(2x) + B sin(2x))
Onde A e B são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp(x) :
Primeira derivada:
yp^prime(x) = A cos(2x) + B sin(2x) + x(-2A sin(2x) + 2B cos(2x))
Segunda derivada:
yp^primeprime(x) = -2A sin(2x) + 2B cos(2x) - 2A sin(2x) + 2B cos(2x) + x(-4A cos(2x) - 4B sin(2x))
Simplificando:
yp^primeprime(x) = -4A sin(2x) + 4B cos(2x) + x(-4A cos(2x) - 4B sin(2x))

Passo 6

Substituindo yp(x) e yp^primeprime(x) na equação diferencial:
yp^primeprime + 4yp = 3 cos(2x)
Então:
-4A sin(2x) + 4B cos(2x) + x(-4A cos(2x) - 4B sin(2x)) + 4x(A cos(2x) + B sin(2x)) = 3 cos(2x)
Simplificando, os termos com x se cancelam:
-4A sin(2x) + 4B cos(2x) = 3 cos(2x)

Passo 7

Agora, igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para cos(2x) :
4B = 3 Rightarrow B = 34
Para sin(2x) :
-4A = 0 Rightarrow A = 0

Passo 8

Com os valores de A e B encontrados, a solução particular é:
yp(x) = x(0 cdot cos(2x) + 34 sin(2x)) = 34x sin(2x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 34x sin(2x)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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