Nos Exercícios de 9 a 20, use o teorema de Green para calcular a integral de linha.
ointC(x^2+y) d x, onde C é a curva fechada, determinada pelo eixo x e pela parábola y=4-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC(x^2+y) dx usando o Teorema de Green. A curva C é fechada e é formada pelo eixo x e pela parábola y = 4 - x^2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada C que envolve uma região D, a integral de linha ointC (P dx + Q dy) é igual à integral dupla sobre D de (partial Qpartial x - partial Ppartial y) dA. Ou seja:
ointC (P dx + Q dy) = integral duplaD (partial Qpartial x - partial Ppartial y) dA

Passo 3

No nosso caso, a integral é ointC (x^2 + y) dx. Aqui, P = x^2 + y e Q = 0 (porque não tem termo em dy). Então, precisamos calcular partial Qpartial x - partial Ppartial y:
partial Qpartial x = 0 e partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 + y) = 1
Portanto:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 1 = -1

Passo 4

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região D:
ointC (x^2 + y) dx = integral duplaD (-1) dA = - integral duplaD dA
Ou seja, precisamos calcular a área da região D e multiplicar por -1.

Passo 5

Vamos identificar a região D. Ela é delimitada pela parábola y = 4 - x^2 e pelo eixo x (onde y = 0). Para encontrar os limites de x, igualamos y = 0:
0 = 4 - x^2 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então, a região D está entre x = -2 e x = 2.

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para a área:
integral duplaD dA = integralx=-2^2 integraly=0^4 - x^2 dy , dx
Integral interna integraly=0^4 - x^2 dy simplesmente dá 4 - x^2, então:
integral duplaD dA = integral-2^2 (4 - x^2) dx

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral-2^2 (4 - x^2) dx = integral-2^2 4 dx - integral-2^2 x^2 dx
Calculando cada parte:
integral-2^2 4 dx = 4 [x]-2^2 = 4(2 - (-2)) = 4 times 4 = 16
integral-2^2 x^2 dx = [x^33]-2^2 = (83 - -83) = 163
Então:
integral duplaD dA = 16 - 163 = 483 - 163 = 323

Passo 8

Voltando à integral original:
ointC (x^2 + y) dx = - integral duplaD dA = - 323

Resposta

A integral de linha ointC(x^2+y) dx é igual a -dfrac323.

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