Nos Exercícios de 9 a 20, use o teorema de Green para calcular a integral de linha.
, onde
é a curva fechada, determinada pelo eixo
e pela parábola
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. A curva
é fechada e é formada pelo eixo
e pela parábola
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que envolve uma região
, a integral de linha
é igual à integral dupla sobre
de
. Ou seja:
Passo 3
No nosso caso, a integral é
. Aqui,
e
(porque não tem termo em
). Então, precisamos calcular
:
Portanto:
Passo 4
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região
:
Ou seja, precisamos calcular a área da região
e multiplicar por
.
Passo 5
Vamos identificar a região
. Ela é delimitada pela parábola
e pelo eixo
(onde
). Para encontrar os limites de
, igualamos
:
Então, a região
está entre
e
.
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para a área:
Integral interna
simplesmente dá
, então:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 8
Voltando à integral original:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.