Nos Exercícios de 9 a 20, use o teorema de Green para calcular a integral de linha.
ointC cos y d x+cos x d y, onde C é o retầngulo com vértices em (0,0),(13 pi, 0),(13 pi, 14 pi) e (0, 14 pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é ointC cos y , dx + cos x , dy, onde C é um retângulo com vértices em (0,0), (pi3, 0), (pi3, pi4) e (0, pi4). Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo em integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Aqui, P = cos y e Q = cos x.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y:
partial Qpartial x = partialpartial x (cos x) = -sin x
partial Ppartial y = partialpartial y (cos y) = -sin y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
ointC cos y , dx + cos x , dy = integral duplaD ( -sin x - (-sin y) ) , dx , dy = integral duplaD (-sin x + sin y) , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos identificar a região D que está dentro do retângulo C. As coordenadas variam de x = 0 a x = pi3 e de y = 0 a y = pi4. Então, os limites da integral dupla serão:
0 <= x <= pi3
0 <= y <= pi4

Passo 6

Vamos montar a integral dupla:
integral duplaD (-sin x + sin y) , dx , dy = integral0^pi3 integral0^pi4 (-sin x + sin y) , dy , dx

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a y:
integral0^pi4 (-sin x + sin y) , dy = -sin x cdot y + (-cos y) g|0^pi4 = -sin x cdot pi4 - cos(pi4) + cos(0)
Sabemos que cos(pi4) = raiz22 e cos(0) = 1, então:
-pi4 sin x - raiz22 + 1

Passo 8

Agora, vamos integrar isso em relação a x:
integral0^pi3 ( -pi4 sin x - raiz22 + 1 ) , dx = -pi4 integral0^pi3 sin x , dx - raiz22 integral0^pi3 dx + integral0^pi3 dx

Passo 9

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral0^pi3 sin x , dx = -cos x g|0^pi3 = -cos(pi3) + cos(0) = -12 + 1 = 12
  2. integral0^pi3 dx = pi3

Passo 10

Substituindo de volta:
-pi4 cdot 12 - raiz22 cdot pi3 + pi3 = -pi8 - raiz2pi6 + pi3

Passo 11

Vamos simplificar os termos com pi:
-pi8 + pi3 = -3pi + 8pi24 = 5pi24
Então, a expressão fica:
5pi24 - raiz2pi6

Resposta

A integral de linha vale 5pi24 - raiz2pi6.

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