Nos Exercícios de 9 a 20, use o teorema de Green para calcular a integral de linha. , onde é o retầngulo com vértices em e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é , onde é um retângulo com vértices em , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo em integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, vamos identificar a região que está dentro do retângulo . As coordenadas variam de a e de a . Então, os limites da integral dupla serão:
Passo 6
Vamos montar a integral dupla:
Passo 7
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Sabemos que cos(pi4) = raiz22 e cos(0) = 1, então:
-pi4 sin x - raiz22 + 1
Passo 8
Agora, vamos integrar isso em relação a x:
integral0^pi3 ( -pi4 sin x - raiz22 + 1 ) , dx = -pi4 integral0^pi3 sin x , dx - raiz22 integral0^pi3 dx + integral0^pi3 dx
Passo 9
Calculando cada integral separadamente:
integral0^pi3 sin x , dx = -cos x g|0^pi3 = -cos(pi3) + cos(0) = -12 + 1 = 12