Monte a expressão que representa a área da região que está dentro de ambas as curvas r^2=sen 2 theta e r^2=cos 2 theta. (Não resolva a(s) integral(is)).

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum a dois laços em coordenadas polares, definidos por
r^2 = sin 2theta
e
r^2 = cos 2theta
Para curvas em polares, usamos a fórmula
A = 12 integraltheta1^theta2 r(theta)^2 ,dtheta

Passo 2

Precisamos achar o intervalo de theta em que ambas as curvas existem (isto é, sin2theta>=0 e cos2theta>=0) e onde elas se cruzam.
  1. sin2theta>=0 0<=2theta<=pi ;Rightarrow;0<=theta<=tfracpi2
  2. cos2theta>=0 -tfracpi2<=2theta<=tfracpi2 ;Rightarrow;-,tfracpi4<=theta<=tfracpi4
    Interseção:
0<=theta<=tfracpi4
O cruzamento das curvas ocorre quando sin2theta=cos2theta, ou seja
tan2theta=1 ;Rightarrow; 2theta=tfracpi4 ;Rightarrow; theta=tfracpi8

Passo 3

Para cada subintervalo de theta a curva mais próxima da origem (limite da região comum) é a de menor r:
  • Em 0<=theta<=tfracpi8, sin2theta<=cos2theta, logo rmax=raizsin2theta
  • Em tfracpi8<=theta<=tfracpi4, cos2theta<=sin2theta, logo rmax=raizcos2theta

Passo 4

Agora montamos a soma das integrais de área em cada intervalo, usando
A = integraltheta1^theta2!integral0^rmax(theta) r,dr,dtheta = 12integraltheta1^theta2 rmax(theta)^2,dtheta
Assim,
A = 12 integral0^pi/8 sin2theta ,dtheta ;+; 12 integralpi/8^pi/4 cos2theta ,dtheta

Resposta

A = 12 integral0^pi/8 sin2theta ,dtheta ;+; 12 integralpi/8^pi/4 cos2theta ,dtheta

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