Suponha que uma matriz A m times n, tenha n colunas pivôs. Explique por que, para cada b em R^m, a equação A x=b tem no máximo uma solução. [Sugestão: Explique por que A x=b não pode ter uma infinidade de soluções.]

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz mtimes n que tem exatamente n colunas pivô, ou seja, rank(A)=n. O conteúdo aqui é a teoria de sistemas lineares: queremos ver por que, para cada bin R^m, a equação
A x= b
não pode admitir infinitas soluções. Vamos usar o conceito de variáveis livres e a forma geral da solução de um sistema linear.

Passo 2

Quando rank(A)=n, todas as n colunas de A são pivôs. Isso implica que, ao escalonar A, não sobra nenhuma coluna sem pivô. Em termos de incógnitas, não há variáveis livres: todas as n variáveis x1,dots,xn são variáveis de pivô.
Em geral, se um sistema linear tem variáveis livres, então, quando é consistente, sua solução depende desses parâmetros livres e, portanto, há infinitas soluções. Aqui, porém, como não há variáveis livres, não há parâmetros para gerar famílias infinitas de soluções.

Passo 3

Outra forma de ver: suponha que existam duas soluções x^(1) e x^(2) de A x= b. Então
A( x^(1)- x^(2))=A x^(1)-A x^(2)= b- b=0
Isso mostra que x^(1)- x^(2) é solução de
A x=0
Mas, como rank(A)=n, o sistema homogêneo A x=0 só admite a solução trivial x=0. Logo
x^(1)- x^(2)=0 Longrightarrow x^(1)= x^(2)
Ou seja, não é possível ter duas soluções distintas, muito menos infinitas.

Resposta

Para cada bin R^m, a equação A x= b pode ter no máximo uma solução, pois não há variáveis livres e o sistema homogêneo associado só admite a solução trivial.

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