Suponha que uma matriz
, tenha
colunas pivôs. Explique por que, para cada
em
, a equação
tem no máximo uma solução. [Sugestão: Explique por que
não pode ter uma infinidade de soluções.]
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
que tem exatamente
colunas pivô, ou seja,
. O conteúdo aqui é a teoria de sistemas lineares: queremos ver por que, para cada
, a equação
não pode admitir infinitas soluções. Vamos usar o conceito de variáveis livres e a forma geral da solução de um sistema linear.
Passo 2
Quando
, todas as
colunas de
são pivôs. Isso implica que, ao escalonar
, não sobra nenhuma coluna sem pivô. Em termos de incógnitas, não há variáveis livres: todas as
variáveis
são variáveis de pivô.
Em geral, se um sistema linear tem variáveis livres, então, quando é consistente, sua solução depende desses parâmetros livres e, portanto, há infinitas soluções. Aqui, porém, como não há variáveis livres, não há parâmetros para gerar famílias infinitas de soluções.
Passo 3
Outra forma de ver: suponha que existam duas soluções
e
de
. Então
Isso mostra que
é solução de
Mas, como
, o sistema homogêneo
só admite a solução trivial
. Logo
Ou seja, não é possível ter duas soluções distintas, muito menos infinitas.
Resposta
Para cada
, a equação
pode ter no máximo uma solução, pois não há variáveis livres e o sistema homogêneo associado só admite a solução trivial.