Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a. Uma transformação linear é um tipo especial de função.
b. Se
for uma matriz
e
for a transformação definida por
, então o domínio de
será
.
c. Se
for uma matriz
, então a imagem da transformação
será
.
d. Toda transformação linear é uma transformação matricial.
e. Uma transformação
é linear se e somente se
para todo
,
no domínio de
e para todos os escalares
e
.
a. Uma transformação linear é um tipo especial de função.
b. Se
c. Se
d. Toda transformação linear é uma transformação matricial.
e. Uma transformação
Passo 1
O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre transformações lineares como Verdadeiras ou Falsas e justificar cada escolha. O conteúdo envolvido é a definição de transformação linear, domínios e imagens de transformações matriciais, e a equivalência de condições de linearidade.
Passo 2
a. “Uma transformação linear é um tipo especial de função.”
Essa afirmação é Verdadeira. \r
Por definição, uma transformação linear é justamente uma função cujo domínio é um espaço vetorial
e que satisfaz duas propriedades (adição e multiplicação por escalar). Logo, toda transformação linear é, antes de mais nada, uma função.
Essa afirmação é Verdadeira. \r
Por definição, uma transformação linear
Passo 3
b. “Se
for uma matriz
e
for a transformação definida por
, então o domínio de
será
.”
Essa afirmação é Falsa. \r
Seja de tamanho
. Então para o produto
fazer sentido, o vetor
deve ter
componentes, ou seja,
. Portanto o domínio de
é
, não
.
Essa afirmação é Falsa. \r
Seja
Passo 4
c. “Se
for uma matriz
, então a imagem da transformação
será
.”
Essa afirmação é Falsa. \r
A imagem de é um subespaço de
, chamado de coluna-espaço de
. Só quando
(posto completo) é que essa imagem coincide com todo
. Em geral, a imagem pode ser um subespaço próprio de
.
Essa afirmação é Falsa. \r
A imagem de
Passo 5
d. “Toda transformação linear é uma transformação matricial.”
Essa afirmação é Verdadeira (no contexto de transformações entre e
).
Qualquer transformação linear pode ser representada como
Essa afirmação é Verdadeira (no contexto de transformações entre
Qualquer transformação linear
onde
é a matriz
cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de
. Logo, toda transformação linear nesse contexto vem de multiplicação por alguma matriz.
Passo 6
e. “Uma transformação
é linear se e somente se
para todo
no domínio de
e para todos os escalares
e
.”
Essa afirmação é Verdadeira.
É exatamente a condição de linearidade que combina aditividade e homogeneidade num único enunciado de “se e somente se”.
Essa afirmação é Verdadeira.
É exatamente a condição de linearidade que combina aditividade e homogeneidade num único enunciado de “se e somente se”.
Resposta
a. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira