Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a. Uma transformação linear é um tipo especial de função.
b. Se A for uma matriz 3 times 5 e T for a transformação definida por T(x)=A x, então o domínio de T será R^3.
c. Se A for uma matriz m times n, então a imagem da transformação x A x será R^m.
d. Toda transformação linear é uma transformação matricial.
e. Uma transformação T é linear se e somente se T(c1 v1+c2 v2)=c1 T(v1)+c2 T(v2) para todo v1, v2 no domínio de T e para todos os escalares c1 e c2.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre transformações lineares como Verdadeiras ou Falsas e justificar cada escolha. O conteúdo envolvido é a definição de transformação linear, domínios e imagens de transformações matriciais, e a equivalência de condições de linearidade.

Passo 2

a. “Uma transformação linear é um tipo especial de função.”
Essa afirmação é Verdadeira. \r
Por definição, uma transformação linear Tcolon Vto W é justamente uma função cujo domínio é um espaço vetorial V e que satisfaz duas propriedades (adição e multiplicação por escalar). Logo, toda transformação linear é, antes de mais nada, uma função.

Passo 3

b. “Se A for uma matriz 3times5 e T for a transformação definida por T(x)=Ax, então o domínio de T será R^3.”
Essa afirmação é Falsa. \r
Seja A de tamanho 3times5. Então para o produto Ax fazer sentido, o vetor x deve ter 5 componentes, ou seja, xinR^5. Portanto o domínio de T é R^5, não R^3.

Passo 4

c. “Se A for uma matriz mtimes n, então a imagem da transformação xmapsto Ax será R^m.”
Essa afirmação é Falsa. \r
A imagem de T(x)=Ax é um subespaço de R^m, chamado de coluna-espaço de A. Só quando rank(A)=m (posto completo) é que essa imagem coincide com todo R^m. Em geral, a imagem pode ser um subespaço próprio de R^m.

Passo 5

d. “Toda transformação linear é uma transformação matricial.”
Essa afirmação é Verdadeira (no contexto de transformações entre R^n e R^m).
Qualquer transformação linear TcolonR^ntoR^m pode ser representada como
T(x) = A,x,
onde A é a matriz mtimes n cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de R^n. Logo, toda transformação linear nesse contexto vem de multiplicação por alguma matriz.

Passo 6

e. “Uma transformação T é linear se e somente se
Tl(c1v1+c2v2r) = c1,T(v1) + c2,T(v2)
para todo v1,v2 no domínio de T e para todos os escalares c1 e c2.”
Essa afirmação é Verdadeira.
É exatamente a condição de linearidade que combina aditividade e homogeneidade num único enunciado de “se e somente se”.

Resposta

a. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira

Exercícios relacionados