Nos Exercícios 21-26, calcule det(A) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. 4
A=[lll1 & k & k^2 1 & k & k^2 1 & k & k^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o determinante da matriz A usando a expansão em cofatores. O enunciado pede para calcular det(A) onde:
A = 1 & k & k^2 1 & k & k^2 1 & k & k^2
Vamos precisar saber o que é determinante, como expandir por uma linha ou coluna usando cofatores e algumas propriedades básicas de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada pode ser calculado expandindo ao longo de uma linha ou coluna escolhida. A expansão por cofatores envolve multiplicar cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu cofator correspondente e somar os resultados.

Passo 3

Observando a matriz A , notamos que todas as linhas são iguais. Isso já nos dá uma pista importante: se uma matriz tem linhas ou colunas iguais, o determinante dela é zero. Mas vamos confirmar isso fazendo a expansão.

Passo 4

Vamos expandir o determinante ao longo da primeira linha. A primeira linha de A é [1 k k^2]. O determinante será:
det(A) = 1 cdot C11 - k cdot C12 + k^2 cdot C13
onde Cij é o cofator correspondente a cada elemento.

Passo 5

Agora, vamos calcular cada cofator:
  • Para C11 , removemos a primeira linha e a primeira coluna:
C11 = k & k^2 k & k^2 = k cdot k^2 - k^2 cdot k = 0
  • Para C12 , removemos a primeira linha e a segunda coluna:
C12 = 1 & k^2 1 & k^2 = 1 cdot k^2 - k^2 cdot 1 = 0
  • Para C13 , removemos a primeira linha e a terceira coluna:
C13 = 1 & k 1 & k = 1 cdot k - k cdot 1 = 0

Passo 6

Agora que temos os cofatores, substituímos de volta na expressão do determinante:
det(A) = 1 cdot 0 - k cdot 0 + k^2 cdot 0 = 0

Resposta

O determinante de A é 0 .

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