Nos Exercícios 21-26, calcule com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. 4
Passo 1
Beleza, vamos resolver o determinante da matriz A usando a expansão em cofatores. O enunciado pede para calcular det(A) onde:
A = 1 & k & k^2 1 & k & k^2 1 & k & k^2
Vamos precisar saber o que é determinante, como expandir por uma linha ou coluna usando cofatores e algumas propriedades básicas de determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada pode ser calculado expandindo ao longo de uma linha ou coluna escolhida. A expansão por cofatores envolve multiplicar cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu cofator correspondente e somar os resultados.
Passo 3
Observando a matriz A , notamos que todas as linhas são iguais. Isso já nos dá uma pista importante: se uma matriz tem linhas ou colunas iguais, o determinante dela é zero. Mas vamos confirmar isso fazendo a expansão.
Passo 4
Vamos expandir o determinante ao longo da primeira linha. A primeira linha de A é [1 k k^2]. O determinante será:
det(A) = 1 cdot C11 - k cdot C12 + k^2 cdot C13
onde Cij é o cofator correspondente a cada elemento.
Passo 5
Agora, vamos calcular cada cofator:
Para C11 , removemos a primeira linha e a primeira coluna:
C11 = k & k^2 k & k^2 = k cdot k^2 - k^2 cdot k = 0
Para C12 , removemos a primeira linha e a segunda coluna: