Nos Exercícios de 1 a 22, determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty(2^-n+3^n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^inftyl(2^-n+3^nr)
O conteúdo envolvido é convergência de séries numéricas, em particular séries geométricas, e usaremos a separabilidade de soma de séries e o teste da razão.

Passo 2

Separamos a série original em duas séries simples:
sumn=1^inftyl(2^-n+3^nr) =sumn=1^infty2^-n ;+;sumn=1^infty3^n

Passo 3

A primeira série é geométrica com termo geral l(tfrac12r)^n e razão r=tfrac12, com lvert rrvert<1. Logo ela converge e sua soma é
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n =tfrac121-tfrac12 =1

Passo 4

A segunda série é geométrica com termo geral 3^n e razão r=3, com lvert rrvert>1. Pelo teste da série geométrica, ela diverge, pois seus termos não tendem a zero:
limntoinfty3^n=+inftyneq0

Passo 5

Como a soma de séries só converge se as duas componentes convergirem e a série sum3^n diverge, concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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