Faça um esboço de um mapa de contorno da função, mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=y-arctg x

Passo 1

O enunciado pede um mapa de contorno da função de duas variáveis f(x,y)=y−arctg x, ou seja, queremos desenhar várias curvas de nível definidas por f(x,y)=k para constantes k. O tema é curvas de nível (ou linhas de contorno) e vamos usar a ideia de igualar a função a k.

Passo 2

Para achar cada curva de nível, impomos f(x,y)=k. Isso dá y−arctan(x)=k, logo y=k+arctan(x). Cada valor de k gera uma curva no plano xy.

Passo 3

Sabendo que a função arctan(x) é crescente e tem assíntotas horizontais em x→±∞, com limₓ→±∞ arctan(x)=±π/2, concluímos que cada curva y=k+arctan(x) é um “S” suave, deslocado verticalmente de acordo com k e tende a y=k±π/2 em x→±∞.

Passo 4

Para esboçar o mapa de contorno, basta desenhar várias curvas y=k+arctan(x) para diferentes k (por exemplo k=−1,0,1,2). Todas têm formato de S e estão igualmente espaçadas em y, com inclinação maior perto de x=0. Devemos indicar no desenho o eixo x, o eixo y, e ao menos 4–5 curvas rotuladas com seus respectivos valores de k.
No esboço, assinale:
• A curva k=0 como y=arctan(x).
• As curvas k=1 e k=−1, que são a mesma forma deslocada para cima ou para baixo.
• As assíntotas horizontais y=k±π/2 (opcionalmente desenhadas como linhas tracejadas).
Dessa forma temos um conjunto de “S” paralelos que formam o mapa de contorno de f.

Resposta

O mapa de contorno é formado pelas curvas
y=k+arctan(x),
para vários valores de k. No plano xy elas aparecem como s-shapes paralelas, deslocadas verticalmente, cada uma rotulada pelo seu k (por exemplo k=−1,0,1,2).

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