Nos Exercicios de 1 a 8, use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty e^-5 n

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
sumn=1^infty e^-5n
O conteúdo é o teste da integral: definimos a função
f(x)=e^-5x
e veremos se
integral1^inftyf(x),dx
converge.

Passo 2

Primeiro devemos checar que f(x)=e^-5x é positiva, contínua e decrescente para x>=1. De fato,
f'(x)=-5e^-5x<0para todo x,
então f satisfaz as hipóteses do teste da integral.

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria como limite:
integral1^inftye^-5x,dx =limbtoinftyintegral1^be^-5x,dx

Passo 4

Calculamos a integral interna:
integral1^be^-5x,dx =l[-tfrac15e^-5xr]1^b =-tfrac15e^-5b+tfrac15e^-5
Tomando btoinfty, o termo -tfrac15e^-5bto0, ficando
integral1^inftye^-5x,dx=tfrac15e^-5<infty

Passo 5

Pelo teste da integral, como
integral1^inftye^-5x,dx
é finita, a série
sumn=1^inftye^-5n
converge.

Resposta

A série sumn=1^inftye^-5n é convergente.

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