Nos Exerçicios de 9 a 22, determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar se a série
converge ou diverge. Hoje vamos trabalhar com Séries Numéricas, especificamente analisando o comportamento dessa série pra ver se ela soma pra um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Sabemos que logaritmos têm algumas propriedades legais que podem ajudar a simplificar essa expressão.
Passo 3
Vamos usar a propriedade que diz que
. Aplicando isso aqui:
Passo 4
Agora, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
Dá pra notar que muitos termos vão se cancelando. Isso é o que a gente chama de série telescópica.
Passo 5
Vamos ver o que sobra quando somamos os termos até o
-ésimo termo:
Como
vai pra infinito,
também vai pra infinito. Então, o somatório não para de crescer, ou seja, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.