Nos Exerçicios de 9 a 22, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty ln (n+3n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar se a série sumn=1^+infty ln (n+3n) converge ou diverge. Hoje vamos trabalhar com Séries Numéricas, especificamente analisando o comportamento dessa série pra ver se ela soma pra um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: ln (n+3n). Sabemos que logaritmos têm algumas propriedades legais que podem ajudar a simplificar essa expressão.

Passo 3

Vamos usar a propriedade que diz que ln(ab) = ln(a) - ln(b). Aplicando isso aqui:
ln(n+3n) = ln(n+3) - ln(n)

Passo 4

Agora, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
&ln(4) - ln(1) &+ ln(5) - ln(2) &+ ln(6) - ln(3) &+ ln(7) - ln(4) &+ dots
Dá pra notar que muitos termos vão se cancelando. Isso é o que a gente chama de série telescópica.

Passo 5

Vamos ver o que sobra quando somamos os termos até o N-ésimo termo:
SN = ln(N+3) - ln(1) + termos que se cancelaram
Como N vai pra infinito, ln(N+3) também vai pra infinito. Então, o somatório não para de crescer, ou seja, a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty ln (n+3n) diverge.

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