Prove que a série
éconvergente se e somente se
.
Passo 1
Olha só, queremos estudar a série
.
O conteúdo que vamos usar é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.
O conteúdo que vamos usar é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.
Passo 2
Definimos a função
Note que
. Para verificar que
é decrescente, calculemos sua derivada:
Como
em
, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Analisemos a integral imprópria
Fazendo a substituição
temos para todo
:
Passo 4
Agora integramos
.
- Se
,
- Se
,
ou seja, também diverge.
Passo 5
Pelo teste da integral, a série
converge se, e somente se, a integral
converge. Concluímos que a série converge exatamente quando
.
Resposta
A série
é convergente se, e somente se,
.