Prove que a série sumn=2^+infty 1n(n n)^p éconvergente se e somente se p>1.

Passo 1

Olha só, queremos estudar a série
sumn=2^infty1n,(ln n)^p.
O conteúdo que vamos usar é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1x,(ln x)^p, x>=2
Note que f(x)>0. Para verificar que f é decrescente, calculemos sua derivada:
f'(x) =-1x^2(ln x)^p -px^2(ln x)^p+1 <0
Como f'(x)<0 em [2,infty), podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Analisemos a integral imprópria
integral2^inftydxx,(ln x)^p
Fazendo a substituição
t=ln x, dt=dxx,
temos para todo A>2:
integral2^Adxx,(ln x)^p =integralln2^ln At^-p,dt

Passo 4

Agora integramos integral t^-pdt.
  • Se pneq1,
integral t^-p,dt =t^1-p1-p
bul<=t Para p>1, o expoente 1-p é negativo, logo t^1-pto0 quando ttoinfty e a integral converge.
bul<=t Para p<1, o expoente 1-p é positivo e então t^1-ptoinfty, fazendo a integral divergir.
  • Se p=1,
integralln2^ln At^-1,dt =l[ln tr]ln2^ln A =ln(ln A)-ln(ln2)toinfty,
ou seja, também diverge.

Passo 5

Pelo teste da integral, a série sumn=2^inftyf(n) converge se, e somente se, a integral integral2^inftyf(x),dx converge. Concluímos que a série converge exatamente quando p>1.

Resposta

A série sumn=2^infty1n,(ln n)^p é convergente se, e somente se, p>1.

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